Recientemente he visitado la tierra muy lejos de Polynomia. Los matemáticos en Polynomia son bastante sofisticados algebraists: ellos saben mucho sobre polinomios y sus asociados de la maquinaria - anillos, campos, geometría algebraica, etc. Pero ellos no son muy buenos en el análisis; las que no saben mucho acerca de las ecuaciones diferenciales y no como sofisticados cálculos. Ellos están bastante bien con la teoría de la energía de la serie porque se trata de la toma de los límites de polinomios (que les encanta), y por lo que he logrado averiguar, al menos, algunos de análisis complejo.
En mi reciente visita me metí en una discusión sobre el poder de la serie
$$f(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots$$
Ellos sabían cómo probar que este poder de la serie converge en todas partes en el plano complejo, pero se sorprendieron cuando les dije que $f$ es periódica con período de $2\pi$. (Ellos son conscientes de que el polinomio de la ecuación de $x^2 + y^2 = 1$ define una curva en $\mathbb{R}^2$, y definen $2\pi$ a ser su arclength.) Usted ve, ya que no me gusta de ecuaciones diferenciales que no saben acerca de las funciones como $\sin x$, $e^x$, etc.
Así que el Polynomians eran bastante incrédula sobre mi reclamación y me exigió que lo demuestran. Las pruebas a las que sé que dependen en gran medida de métodos como la ruta de las integrales de funciones trascendentes, y sus ojos vidriosos. Ellos están buscando una propiedad de las sumas parciales de $f$ que, en el límite, garantiza que $f$ es periódica con período de $2 \pi$. Los círculos son casi seguro que va a tener que entrar en ella y seguramente puedo convencer para aceptar la ruta de las integrales de polinomios a lo largo de un círculo, pero el más algebraica del argumento mejor. Alguien puede ayudar?