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¿Hay una prueba de ingenuidad que $x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots$ tiene período $2\pi$?

Recientemente he visitado la tierra muy lejos de Polynomia. Los matemáticos en Polynomia son bastante sofisticados algebraists: ellos saben mucho sobre polinomios y sus asociados de la maquinaria - anillos, campos, geometría algebraica, etc. Pero ellos no son muy buenos en el análisis; las que no saben mucho acerca de las ecuaciones diferenciales y no como sofisticados cálculos. Ellos están bastante bien con la teoría de la energía de la serie porque se trata de la toma de los límites de polinomios (que les encanta), y por lo que he logrado averiguar, al menos, algunos de análisis complejo.

En mi reciente visita me metí en una discusión sobre el poder de la serie

$$f(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots$$

Ellos sabían cómo probar que este poder de la serie converge en todas partes en el plano complejo, pero se sorprendieron cuando les dije que $f$ es periódica con período de $2\pi$. (Ellos son conscientes de que el polinomio de la ecuación de $x^2 + y^2 = 1$ define una curva en $\mathbb{R}^2$, y definen $2\pi$ a ser su arclength.) Usted ve, ya que no me gusta de ecuaciones diferenciales que no saben acerca de las funciones como $\sin x$, $e^x$, etc.

Así que el Polynomians eran bastante incrédula sobre mi reclamación y me exigió que lo demuestran. Las pruebas a las que sé que dependen en gran medida de métodos como la ruta de las integrales de funciones trascendentes, y sus ojos vidriosos. Ellos están buscando una propiedad de las sumas parciales de $f$ que, en el límite, garantiza que $f$ es periódica con período de $2 \pi$. Los círculos son casi seguro que va a tener que entrar en ella y seguramente puedo convencer para aceptar la ruta de las integrales de polinomios a lo largo de un círculo, pero el más algebraica del argumento mejor. Alguien puede ayudar?

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Yves Daoust Puntos 30126

Hay un compañero de esa serie,

$$g(x)=1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{4!}+\cdots$$

y juntos tienen una propiedad divertida: $$h(x+y):=g(x+y)+if(x+y)=(g(x)+if(x))(g(y)+if(y))=h(x)h(y).$ $

Esto puede demostrarse de forma primaria mediante el desarrollo de las competencias de $x+y$ utilizando el teorema del binomio y la identificación de los productos de las sumas parciales.

Entonces suponiendo que por alguna magia (por ejemplo, el teorema del valor intermedio) podemos demostrar hay una solución a

$$h(2\pi)=1,$$

$\pi$ Dónde está lo desconocido, entonces para todas las $x$

$$h(x+2\pi)=h(x).$$

-4voto

Kolosov Petro Puntos 11

Puesto que la

$$f(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots+(-1)^{n}{\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=\sin (x), \ \mathrm{for} \ -\infty<x>Serie de Maclaurin de $\sin (x)$, véase MathWorld, EC. 23. Como $\sin x$ % período $0; 2\pi$, entonces la transformación de Maclaurin correspondiente de $\sin(x)$ $$f(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots+$$ has period $0; 2\pi$.

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