Estoy buscando un conjunto$A \subset \mathbb{R}$ tal que$\bigcap^\infty_{n=0} A^{(n)} $ es un conjunto perfecto (es decir,$X'=X$) pero$\forall n \in \mathbb{N}$ el conjunto$A^{(n)}$ no es perfecto (donde $X^{(n)}=(X^{(n-1)})'$ y$X^{(0)}=X$).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sí. Para cada contables ordinal podemos encontrar un conjunto de los números reales cuya Cantor-Bendixson rango es el que ordinales.
Para ver esto, en primer lugar tenga en cuenta que cada contables ordinal incrusta (orden-sabio, y por lo tanto topológicamente sabio) en los números racionales, y así en los números reales. Así que basta encontrar un ordinal cuyo rango es $\omega$.
¿Qué significa eso? Esto significa que se tarda $\omega$ pasos para quitar todos los puntos (desde contable ordinales no puede tener un no-vacío del núcleo). Si $\omega$ rango $1$ $\omega^2$ rango $2$, y así sucesivamente, a continuación, $\omega^\omega$ rango $\omega$ (nota: esta es una variable ordinal exponenciación!).
Si quieres algo con un no-vacío del núcleo, escoja una incrustación de $\omega^\omega$ a $[0,1]$, decir $S$ y tome $S\cup[2,3]$ a su conjunto.
