Si $\sum a_k^2 /k$ converge, entonces $1/N \sum_1^{N}a_k \to 0$

Question

Quiero demostrar que si $\sum ak^2 / k$ converge, entonces $1/N \sum{1}^Na_k \to 0$.

Ahora, si $a_n \to 0$, entonces el resultado sigue. Pero por supuesto $an\to 0$ no es una condición necesaria para $\sum a{n}^2/n$ a converger. Querríamos usar Cauchy-Schwarz para decir que $a_k^2/k \leq a_k^4 + 1/k^2$, pero por supuesto la desigualdad señala el camino equivocado. ¿Alguna idea?

Answer 1

Por su condición, cualquier $\epsilon>0$, existe $m$ tal que cuando $N\geq m$

$\dfrac{a{m+1}^2}{m+1}+...+\dfrac{a{N}^2}{N}

Por Cauchy uno tiene

$(a{m+1}+...a{N})^2

por lo tanto,

$(a{m+1}+...+a{N})^2

Cuando $N$ es grande suficiente comparado con el $m$,

$\dfrac{(a{m+1}+...+a{N})^2}{N^2}

Por lo tanto el límite en cuestión es cero.

Answer 2

Dividir la suma de $k = \sqrt{N}$.

Si $\sqrt{N} < k < N$, por Cauchy-Schwarz $$ \sum_{\sqrt{N} < k \leq N} a_k \leq N^{1/2} \cdot \bigg ( \sum_{\sqrt{N} < k \leq N} a_k^2 \bigg )^{1/2} $$ Y aviso que $$ \sum_{\sqrt{N} < k \leq N} a_k^2 \leq N \sum_{N > k > \sqrt{N}} \frac{a_k^2}{k} = o(N) $$ debido a $\sum_{k > \sqrt{N}} a_k^2 / k = o(1)$.

Si $k < \sqrt{N}$ $$ \sum_{k \leq \sqrt{N}} a_k \leq \bigg ( \sum_{k \leq \sqrt{N}} k \bigg )^{1/2} \cdot \bigg ( \sum_{k} \frac{a_k^2}{k} \bigg )^{1/2} \leq N C^{1/2} $$ con $C = (\sum a_k^2 / k)^{1/2}$.

La combinación de la suma de dos llegamos a la conclusión de que $$ \sum_{k \leq N} a_k \leq N C^{1/2} + o(N) = o(N) $$ Este es el que desea reclamar. Tenga en cuenta que podríamos haber dividido en cualquier $k = f(N)$ $f$ va al infinito.