Signo de volteo de $i$ s

Question

¿Por qué le damos la vuelta a los signos de todos $i$ s en un número complejo cuando queremos tomar el conjugado del mismo?

Es decir, conjugar significa hacer $x + iy$ en $x - iy$ pero dado un número de la forma $$\frac {x+iy}{x-iy}$$ o $$x+iy+e^{iz}$$ o cualquier otra forma de número complejo, ¿por qué siempre funciona la inversión de signos?

Funciona incluso cuando se toma el conjugado complejo de la ecuación de onda de Schrodinger. ¿Existe alguna razón por la que cualquier número complejo, independientemente de su estructura, pueda ser conjugado invirtiendo el signo de todos los $i$ s (dado que el conjugado existe) ?

Answer 1

La conjugación es un automorfismo del campo de los números complejos. Esto significa que $\overline{z+w} = \overline{z} + \overline{w}$ y $\overline{z\cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w}$ . En particular, $\overline{a\cdot z^n} = \overline{a} \cdot {\overline{z}}^n$ . Cualquier función expresable como serie de potencias con real Por lo tanto, los coeficientes satisfarán $\overline{f(z)} = f(\overline{z})$ . En particular, este es el caso de $f(z) = \exp z$ desde $$ \exp z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}. $$ Los coeficientes $1/n!$ son todos reales, y por lo tanto $$ \overline{\exp z} = \sum_{n=0}^\infty \overline{\frac{z^n}{n!}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\overline{z^n}}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{{\overline{z}}^n}{n!} = \exp \overline{z}. $$ En particular, $\overline{x+iy+e^{iz}} = \overline{x}-i\overline{y}+e^{-i\overline{z}}$ .

Answer 2

Es porque la conjugación compleja es una automorfismo de $\mathbb{C}$ . En otras palabras, para todos los $z, w \in \mathbb{C}$ tenemos $\overline{zw} = \overline{z} \ \overline{w}$ y $\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}$ . Además, la conjugación fija los reales puntualmente: si $r \in \mathbb{R}$ entonces $\overline{r} = r$ . Su observación se desprende de esas propiedades.