Cómo demostrar a $(\gamma^\mu)^\dagger=\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0$?

Question

El estudio de los fundamentos de la spin-$\frac{1}{2}$ QFT, me encontré con la gamma de las matrices. Una propiedad importante es $(\gamma^5)^\dagger=\gamma^5$, el hermicity de $\gamma^5$. Después de algunas búsquedas, me topé con este interesante Phys.SE de respuesta a la anterior pregunta en este foro. Específicamente, estoy interesado en la fórmula \begin{equation} (\gamma^\mu)^\dagger=\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0 \end{equation} que se menciona pero no se ha probado. Después de consultar a un miembro de la facultad de mi universidad, me monté de que la prueba debe depender de alguna manera en el hecho de que el $(\gamma^\mu)^\dagger$ también obedecer el álgebra de Clifford: $$\{(\gamma^\mu)^\dagger,(\gamma^\nu)^\dagger\}=-2\eta^{\mu\nu}$$ $$\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=-2\eta^{\mu\nu}$$ (para mayor claridad, estoy usando $- + + +$ firma para la métrica de Minkowski). Esto debería implicar que hay una cierta similitud de transformación que relacionan los dos, pero no estoy muy versado en la teoría de grupos. Supongo que debe de alguna manera que la matriz que actúa para transformar las dos representaciones de este álgebra en cada una de las otras es $\gamma^0$, que es igual a su inverso $\gamma^0=(\gamma^0)^{-1}$, como se puede ver inmediatamente de la toma de la $\mu=\nu=0$ en el álgebra de Clifford. Entonces, la similitud de transformación en la forma correcta:

$$ (\gamma^\mu)^\dagger=S\gamma^\mu S^{-1}=\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0 $$

Tengo la sensación de que tiene la mayoría de los ingredientes necesarios. Sin embargo, me parece que no puede ser capaz de hacer este argumento explícito y claro (debido a mi falta de conocimiento adecuado de la teoría del grupo). Podría alguien ayudarme? Sería muy apreciada.

EDIT: estoy en busca de una respuesta que no se basan en el uso de una representación particular de la gamma de las matrices.

Answer 1

Pero, ¿qué tal las pruebas de los dos casos diferentes?

I. e. si $\mu\not=0$, entonces el lado izquierdo se convierte en

\begin{equation} (\gamma^\mu)^\dagger= (\gamma^i)^\dagger= -\gamma^i \tag{see below} \end{equation} mientras que el lado derecho se convierte en

\begin{equation} (\gamma^\mu)^\dagger=\gamma^0\gamma^i\gamma^0 = -\gamma^0\gamma^0\gamma^i=-\gamma^i~~~~~~~~ (\text{OK}). \end{equation}

Para $\mu=0$, el caso es trivial.

EDIT: debido a la observación de la OP voy a añadir la siguiente respuesta:

Las propiedades de las matrices gamma puede ser derivada a partir de las propiedades de la $\vec{\alpha},\beta$-matrices. Algunas de las propiedades de la $\vec{\alpha},\beta$ matrices son impuestas sobre ellos motivados por la física de los argumentos, de tal manera que el hamiltoniano de Dirac debe ser hermitian que implica $\vec{\alpha},\beta$ hermitian etc.

Observe que $$ \gamma^\mu := (\beta, \beta\vec{\alpha}).$$

Por ejemplo: $$(\gamma^i)^\dagger = (\beta\alpha^i)^\dagger = (\alpha^i)^\dagger\beta^\dagger=\alpha^i\beta=-\beta\alpha^i=-\gamma^i\tag{QED}$$

Vea la página 10 de este PDF para más información sobre la ecuación de Dirac, o ver el libro antiguo "Quarks y Leptones..." por Halzen y Martin.

Ver también la página de la wiki a continuación: http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_matrices#Normalization

Answer 2

Una respuesta parcial, es que suponiendo que el valor de gamma, matrices, bloque-diagonal , como $\begin{pmatrix}A&\\&\epsilon A\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}&A\\\epsilon A&\end{pmatrix}$ donde $A$ es hermitian o anti-hermitian y $\epsilon =\pm1$, dar a las restricciones en $A$ $\epsilon$ debido a $(\gamma^0)^2= \mathbb Id_4, (\gamma^i)^2= - \mathbb Id_4$.

Por ejemplo, si $\gamma_0 = \begin{pmatrix}&A\\ \epsilon A&\end{pmatrix}$,$(\gamma_0)^2 = \begin{pmatrix} \epsilon A^2&\\ &\epsilon A^2\end{pmatrix}$.

Por lo tanto, si $A$ es hermitian, podemos optar $A$ tales $A^2 = AA^\dagger = A^\dagger A = \mathbb Id_2$, e $\epsilon = 1$

Si $A$ es anti-hermitian, podemos optar $A$ tales $A^2 = - AA^\dagger = - A^\dagger A= -\mathbb Id_2$, e $\epsilon=-1$

En los dos casos, es fácil ver que $\gamma^0$ es hermitian.

Así que, con la anterior hipótesis acerca de la gamma de las matrices, es fácil ver que $\gamma^0$ es hermitian y el $\gamma^i$ son anti-hermitian.

Ahora con el anti-relaciones de conmutación $\gamma^0 \gamma^i + \gamma^i \gamma^0 =0$, usted tiene $\gamma^i= - \gamma^0 \gamma^i \gamma^0$ (recordar que $(\gamma^0)^2= \mathbb Id_4$), por lo que ha $(\gamma^i)^\dagger= - \gamma^i = \gamma^0 \gamma^i \gamma^0$, y usted obviamente $(\gamma^0)^\dagger= \gamma^0 = \gamma^0 \gamma^0 \gamma^0$