Número de veces que dos funciones reescaladas y "totalmente" monótonas pueden cruzarse

Question

Considere dos funciones $f: [0,1) \rightarrow \mathbb{R}$ y $g: [0,1) \rightarrow \mathbb{R}$ . Supongamos que $f(x) > g(x)$ para todos $x \in [0,1)$ . Supongamos además que $f$ y $g$ son infinitamente diferenciables y todas las derivadas de ambos $f$ y $g$ son estrictamente positivos en el interior $(0,1)$ del dominio y no negativo en $x=0$ : $f^{(n)}(x) > 0$ y $g^{(n)}(x) > 0$ para todos $x \in (0,1)$ , $f^{(n)}(0) \geq 0$ , $g^{(n)}(0) \geq 0$ para todos $n$ . (A falta de un término mejor, lo llamo $f$ y $g$ 'totalmente monótono', ya que 'totalmente' o 'completamente' monótono requiere que los signos sean alternativos. Véase aquí .) Sea $x_0 \in (0,1)$ sea un punto interior fijo.

¿Es cierto que $$ \frac{f(x)}{f(x_0)} = \frac{g(x)}{g(x_0)} $$ sólo se mantiene en $x = x_0$ ? Es decir, ¿las funciones $f(x)/f(x_0)$ y $g(x)/g(x_0)$ ¿cruzar sólo una vez?

Una condición suficiente estándar para la unicidad es $f' > g'$ o el ligeramente más débil $f'(x)/f(x_0) > g'(x)/g(x_0)$ pero esto no se presupone aquí. Intuitivamente parece que la monotonicidad completa y $f > g$ implican cualquier función reescalada $f(x)/C_1$ y $g(x)/C_2$ donde $C_1 > 1$ y $0 < C_2 < 1$ puede cruzarse como máximo una vez, pero no he podido demostrarlo ni construir un contraejemplo.

Además, en caso de que estas propiedades añadidas sean importantes: Sé que $f(0) = 1$ , $g(0) = 0$ y ambos $f(x)$ y $g(x)$ divergen al infinito como $x \rightarrow 1$ . $f$ y $g$ son ambas series de potencias.

Answer 1

Se pueden tener funciones totalmente monótonas que se cruzan infinitas veces :

Dejemos que $f(x) = \sum_{k=0}^\infty (1-x)^{-(4k+1)}/(4k+1)!$ y $g(x) = \sum_{k=0}^\infty (1-x)^{-(4k+3)}/(4k+3)!$ . $f$ y $g$ son totalmente monótonas (porque $x \mapsto (1-x)^{-1}$ es, y el conjunto de funciones totalmente monótonas está cerrado por reescalado, adición, multiplicación y convergencia suficientemente buena), pero $f(x) - g(x) = \sin((1-x)^{-1})$ que cambia de signo infinitas veces en $[0;1)$

Answer 2

Dejemos que $g\colon[0,1)\to\mathbb{R}$ ser un $C^\infty$ de tal manera que $g(0)=0$ , $g^{(n)}(x)>0$ para todos $x\in(0,1)$ y todos $n\ge0$ , $g^{(n)}(0)\ge0$ para todos $n\ge0$ y $\lim_{x\to1^-}g(x)=\infty$ . Un ejemplo es $g(x)=\tan(\pi\, x/2)$ . Dejemos que $f(x)=1+(g(x))^2$ . Entonces $f(x)>g(x)$ para todos $x\in(0,1)$ , $f$ satisface las condiciones requeridas sobre la positividad de sus derivadas y $\lim_{x\to1^-}f(x)/g(x)=\infty$ . Toma $x_0\in(0,1)$ tal que $g(x_0)<1$ (esto es posible ya que $g(0)=0$ ). Entonces la ecuación $$ \frac{f(x)}{f(x_0)}=\frac{g(x)}{g(x_0)} $$ tiene al menos dos soluciones. Una es $x=x_0$ . Un simple cálculo muestra que $$ \Bigl(\frac{f(x)}{f(x_0)}\Bigr)'\Bigr|_{x=x_0}<\Bigl(\frac{g(x)}{g(x_0)}\Bigr)'\Bigr|_{x=x_0}. $$ Entonces $g(x)/g(x_0)>f(x)/f(x_0)$ en $(x_0,x_0+\epsilon)$ para algunos $\epsilon>0$ . Pero $\lim_{x\to1^-}f(x)/g(x)=\infty$ para que el grapg de $f(x)/f(x_0)$ debe cortar el gráfico de $g(x)/g(x_0)$ en algún punto $x>x_0$ .