Determinar si $\sum^{\infty}_{n=1}\int^{\frac{\sin n}{n}}_0\frac{\sin x}{x} \, dx $ converge o diverge.

Question

Determinar si $\sum^{\infty}_{n=1}\int^{\frac{\sin n}{n}}_0\frac{\sin x}{x} \, dx $ converge o diverge.

¿Podría alguien por favor Muéstreme cómo hacerlo? Y especialy mostrando por qué $\lim_{n\to\infty}\int^{\frac{\sin n}{n}}_0\frac{\sin x}{x} \, dx=0$

(Sé que $\lim_{n\to\infty} \frac{\sin n}{n}=0$)

Answer 1

Esta es la versión editada. Gracias a Tigran Saluev para señalar la mistatke.

Por su argumento de la serie converge iff la serie $$ \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{|\pecado n|a}{n}\etiqueta{1} $$ converge. Tenga en cuenta que $$ \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{|\pecado n|a}{n}\geq\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\sin^2 n}{n}=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}-\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\cos 2n}{n} $$ El primer término se bifurca como la serie armónica diverge. El segundo término converge desde $$ \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\cos 2n}{n} =\Re\left(\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{e^{i\cdot 2n}}{n}\right) =\Re\left(\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{z^n}{n}\biggl|_{z=e^{2}}\right) =\Re\left(-\ln(1-z)|_{z=e^{2}}\right)<\infty $$ Así, la serie de $(1)$ diverge, por lo tanto su serie diverge demasiado.

Answer 2

$\frac{\sin x}{x}$ es una función continua, por lo tanto $$\lim_{a\rightarrow 0}\int_0^a \frac{\sin x}{x}\,dx\ \ \ \mbox{ is always equal to } 0.$$ Pero eso no es suficiente.

$\frac{\sin x}{x}$ también es positiva en un barrio de 0, por lo tanto todas las integrales para $n$ mayor que en el fijo $N$ son positivos. No depende de que el signo de $\frac{\sin n}{n}$, ya que la integrada de la función es par. Pero el hecho de $\frac{\sin n}{n}$ no es necesariamente positivo prohíbe a escribir $$\int_0^{\frac{\sin n}{n}} \frac{\sin x}{x}\,dx \le \frac{\sin n}{n} $$ como Norbert ha hecho. Estimación correcta parece $$\int_0^{\frac{\sin n}{n}} \frac{\sin x}{x}\,dx \le \frac{|\sin n|}{n}.$$ Así que la solución no es tan simple.

$\frac{\sin x}{x}$ es decreciente y convexa en $[0, 1]$:

Así se puede estimar la integral desde abajo, como la plaza de relieve de la región: $$ \int_0^{\frac{\sin n}{n}} \frac{\sin x}{x}\,dx \ge \left.\frac{\sin x}{x}\right|_{x=\frac{|\pecado n|a}{n}}\cdot\frac{|\pecado n|a}{n} + \frac{1}{2}\cdot\frac{|\pecado n|a}{n}\cdot\left(1 - \left.\frac{\sin x}{x}\right|_{x = \frac{\sin n}{n}}\right) = $$ $$ = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{|\pecado n|a}{n}\right) + \frac{1}{2}\frac{|\pecado n|a}{n}. $$ Por lo tanto, incluyendo a mi comentario de Norberto de la respuesta, la serie converge si y sólo si $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\sin n|}{n}$$ converge.

Answer 3

Consejo para la segunda parte de tu pregunta: El teorema del valor medio muestra que el $\int_0^{\frac{\sin{n}}{n}} \frac{\sin{x}}{x}~dx=\frac{\sin{y_n}}{y_n}\frac{\sin{n}}{n}$ $0\leq y_n\leq\frac{\sin{n}}{n}$. ¿Qué se puede deducir? ¿Qué du conoce el comportamiento del $\frac{\sin{x}}{x}$ cerca de $0$?