Un paso para probar el Gamma de$1 \over 2$

Question

Buenas tardes a todos. Hay un paso en la prueba que nunca entendí del todo.

Dejar $I = \int_{0}^{\infty} e^{{-u}^2} du$. Entonces$$I^2 = \int_{0}^{\infty} e^{{-u}^2} du \int_{0}^{\infty} e^{{-v}^2} dv$ $ Ahora, si digo que como$\int_{0}^{\infty} e^{{-u}^2} du$ no es una función de$v$, puedo apilar la integral como tal$$I^2 = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{{-u}^2} du (e^{{-v}^2}) dv \space (*)$ $ Then porque$e^{{-v}^2}$ no es una función de$u$,$$I^2 = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{{-v}^2}e^{{-u}^2} du dv$ $ Sin embargo, para hacer tal argumento en$(*)$, ¿necesito primero saber que$\int_{0}^{\infty} e^{{-u}^2} du$ converge?

Answer 1

Sí, necesitas saber que converge. Pero$\exp (-u^2) \lt \frac 1{1+u^2}$ para$u$% es suficiente para mostrarlo.

Answer 2

Otro enfoque: Si usted no necesita adherirse a lo integral doble bastante agradable, se puede utilizar Fórmula de reflexión de Euler :

$$\Gamma(1-z)\Gamma(z)=\frac\pi{\sin\pi z}\;,\;\;\text{ so}\;\;z=\frac12\implies \Gamma\left(\frac12\right)^2=\frac\pi{\sin\frac\pi2}=\pi\;\ldots\ldots$$