Determinar si los enteros gaussianos $\mathbb{Z}[i]$ y $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ son anillos isomorfos

Question

De nuevo estoy teniendo dificultades con otro ejercicio de mi clase de álgebra abstracta. Es una pregunta de deberes que se le ocurrió a mi profesor y es la siguiente, palabra por palabra:

Dejemos que $R$ y $T$ sean anillos. Una función $f:R\to T$ es un homomorfismo de anillo si es un homomorfismo de grupo bajo adición tal que $f(ab) = f(a)f(b)$ . Además, si $f$ es también una biyección, entonces decimos que $f$ es un homomorfismo de anillo y que $R$ y $T$ son anillos isomorfos, denotados $R\cong T$ . Determine si los enteros gaussianos $\mathbb{Z}[i]$ y $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ son anillos isomorfos.

Lo que inicialmente me desconcierta es que escribió "un homomorfismo de grupo bajo adición tal que $f(ab) = f(a)f(b)$ "donde la última parte parece, al menos para mí, ser una multiplicación, no una adición. He comprobado en internet qué condiciones hay que cumplir para que algo se considere un homomorfismo de anillo y son: $f(a+b) = f(a) + f(b)$ y $f(ab) = f(a)f(b)$ para todos $a,b\in R$ . Me pregunto si lo que escribió como parte de la pregunta fue algún tipo de error tipográfico por su parte o si tal vez simplemente me estoy perdiendo algo.

Y, por último, para demostrar que $\mathbb{Z}[i]$ y $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ son anillos isomorfos, entiendo que tendría que demostrar primero que existe una función de $\mathbb{Z}[i]$ a $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ que es un homomorfismo de grupo bajo adición y multiplicación, ¿correcto? ¿Y podría definir la función como quiera mientras sea un homomorfismo de grupo?

Me disculpo por escribir tanto ya que estoy muy confundido con este ejercicio. ¡Muchas gracias chicos por la ayuda!

Answer 1

Una pista: $\ (0,1)\cdot (1,0) = (0,0)\,$ en $\, \Bbb Z\times \Bbb Z$

Si existe un isomorfismo, ¿qué implica cuando se utiliza para mapear la ecuación anterior en $\,\Bbb Z[i]?\ $

Alternativamente, $\ \smash[t] {0 = 1+i^2\ \stackrel{f}\Rightarrow\ (0,0) = (1,1)+(a,b)^2 = (1+a^2,1+b^2)},\, $ por lo que hemos deducido que $\ 1+x^2\ $ tiene una raíz en $\,\Bbb Z,\,$ contradicción

La idea clave es demostrar que no existe ningún isomorfismo encontrando alguna propiedad teórica de anillo que tenga un anillo pero que no tenga el otro, donde propiedad teórica de anillo significa una propiedad preservada por isomorfismos. La primera propiedad es: ser un dominio, es decir, no tener divisores de cero no triviales, es decir $\ x,y \ne 0\,\Rightarrow\, xy\ne 0,\ $ y la segunda propiedad es: $\, x^2 + 1\,$ tiene una raíz, $ $ es decir, la cuadratura de $\,-1.$

Answer 2

De la pista de Key Ideas, $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ tiene divisores cero. Recordemos que un divisor cero de un anillo $R$ es un elemento no nulo $a$ tal que $ab = 0$ para un número de veces que no es cero $b \in R$ . Sin embargo, como $\mathbb{Z}[i] \subseteq \mathbb{C}$ y $\mathbb{C}$ es un campo, $\mathbb{Z}[i]$ no tiene divisores cero.

Además, un isomorfismo de anillo es un homomorfismo biyectivo de anillo. Utiliza lo que he dicho para demostrar que no existe tal isomorfismo.