Mostrar que $\cot(\pi/14)-4\sin(\pi/7)=\sqrt7$.
Este problema es de G.M. 10/2016 y no puedo resolverlo. He probado con un triángulo isósceles con ángulos $3\pi/7, 3\pi/7$ $\pi/7$ y yo intentaba encontrar a una relación entre los lados del triángulo y no pude encontrar nada. También pensé que para resolverlo con números complejos pero otra vez me ayudo encontrar nada. ¿Alguna idea?
Deje $a=\frac{\pi}{7},c=\cos a$.
Esta respuesta usos que $x=c$ es una raíz de $$8x^3-4x^2-4x+1$$ La prueba está escrito al final de esta respuesta.
Multiplicando ambos lados de la $$8c^3-4c^2-4c+1=0$$ por $2$ da $$16c^3-8c^2-8c+2=0,$$ es decir, $$(16c^2-24c+9)+(16c^3-24c^2+9c)-7+7c=0,$$ es decir, $$(1+c)(16c^2-24c+9)=7(1-c)$$ Multiplicando ambos lados por $1-c$ da $$(1-c^2)(4c-3)^2=7(1-c)^2,$$ es decir, $$1-c^2=\frac{7(1-c)^2}{(4c-3)^2}$$ Así $$\sqrt{1-c^2}=\frac{\sqrt 7\ (1-c)}{4c-3}$$ desde $4c-3\gt 4\cos\frac{\pi}{6}-3=2\sqrt 3-3\gt 0$.
Por lo tanto, tenemos $$\frac{4c-3}{1-c}\sqrt{1-c^2}=\sqrt 7\tag1$$
Por el camino, $$\begin{align}\cot\frac{a}{2}-4\sin a&=\sqrt{\frac{1+c}{1-c}}-4\sqrt{1-c^2}\\\\&=\sqrt{\frac{1-c^2}{(1-c)^2}}-4\sqrt{1-c^2}\\\\&=\frac{\sqrt{1-c^2}}{1-c}-4\sqrt{1-c^2}\\\\&=\frac{4c-3}{1-c}\sqrt{1-c^2}\tag2\end{align}$$
El reclamo sigue de $(1)(2)$.
Por último, vamos a demostrar que $x=c$ es una raíz de $$8x^3-4x^2-4x+1$$
Desde $3a+4a=\pi$, tenemos $$\sin(3a)=\sin(4a)$$ a partir de la cual hemos $$\sin a\ (3-4\sin^2a)=2\sin(2a)\cos(2a)=4\sin a\cos a\cos(2a)$$ Dividiendo ambos lados por $\sin a$ da $$3-4(1-c^2)=4c(2c^2-1),$$ es decir, $$8c^3-4c^2-4c+1=0$$
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