La superficie de una esfera cortada por un tetraedro regular

Question

Descripción: considere un tetraedro regular (con altura 1), construya una esfera centrada en uno de los vértices del tetraedro, con radio 1 también. Entonces, ¿cuál es la superficie de la porción de la esfera que es cortada por el tetraedro? A continuación hay enlaces a algunas ilustraciones que hice usando Mathematica.

$\hskip 1.3in$ $$\text {a side view}$$

$\hskip 1.3in$ $$\text {a bottom view: you are viewing the unknown area directly}$$

Answer 1

Una herramienta útil para obtener este tipo de información es el ángulo sólido de un objeto. Simplemente multiplicando dicho ángulo sólido por $r^2$ le dará la superficie recortada de una esfera de radio $r$ centrado en el vértice del ángulo. Como su esfera tiene radio $1$ De hecho, simplemente estás preguntando por el ángulo sólido en la parte superior de un tetraedro. Wikipedia tiene una sección sobre su cálculo . Esa sección es para tetraedros generales, es decir, no necesariamente regulares. Podrías aplicar esos cálculos a un tetraedro regular. O bien, echa un vistazo a el artículo sobre el tetraedro (regular) . Allí se encuentra que el ángulo sólido en un vértice es

$$\Omega = \arccos\frac{23}{27} \approx 0.55129\,\text{sr}$$

Como su radio es $1$ se puede ignorar la unidad de sr e interpretar este número directamente como la superficie por la que preguntaste. Ten en cuenta que el tamaño del tetraedro es irrelevante en todo esto, siempre y cuando uno de sus vértices esté centrado en el centro de la esfera y el lado opuesto quede completamente fuera de la esfera.

Answer 2

El tetraedro $T$ tener altura $1$ significa que una cara de $T$ sólo toca la esfera. Por lo tanto, el conjunto $T\cap S^2$ no tiene agujero y es un triángulo esférico equilátero $\Delta$ con ángulos $\theta$ . Por una fórmula estándar de trigonometría esférica el área de $\Delta$ es la suma de sus ángulos menos $\pi$ por lo que viene dada por $$\omega(\Delta)=3\theta- \pi\ .$$ Por lo tanto, queda por determinar este ángulo $\theta$ . Desde $S^2$ cruza las tres aristas de $T$ que emana de $0$ ortogonalmente se deduce que $\theta$ es igual al ángulo entre dos caras adyacentes cualesquiera de $T$ . Sea $A$ y $B$ sean dos vértices de $T$ y $M$ el punto medio de la arista opuesta. A continuación, $\theta$ es el ángulo en la punta $M$ del triángulo isósceles $ABM$ y se deduce que $$\sin{\theta\over2}={s/2\over s\ \sqrt{3}/2}\ ,$$ o $\theta=2\arcsin{1\over\sqrt{3}}$ . De ello se desprende que $$\omega(\Delta)=6\arcsin{1\over\sqrt{3}}-\pi\doteq0.551286\ .$$