Datos esféricos con componentes SVD de la matriz de covarianza

Question

Los elementos del aprendizaje estadístico dice en la página 113:

Esfera los datos con respecto a las estimaciones de covarianza común $\hat{\Sigma}$ : $X^* \leftarrow D^{-1/2}U^TX$ donde $\hat{\Sigma} = UDU^T$ . La estimación de la covarianza común de $X^*$ será ahora la identidad.

¿Puede alguien ayudarme a entender por qué $X^* \leftarrow D^{-1/2}U^TX$ ¿esferas los datos?

Answer 1

Creo que he descubierto la respuesta tras ver la sugerencia de cardenal y leer la página de Wikipedia sobre blanqueamiento .

$cov(X^*) = E[X^*X^{*T}]$

$= E[D^{-\frac{1}{2}}U^TXX^TUD^{-\frac{1}{2}T}]$

$D^{-\frac{1}{2}T} = D^{-\frac{1}{2}}$ porque es una matriz diagonal

$= D^{-\frac{1}{2}}U^TE[XX^T]UD^{-\frac{1}{2}}$

$= D^{-\frac{1}{2}}U^T\hat{\Sigma}UD^{-\frac{1}{2}}$

$= D^{-\frac{1}{2}}U^TUDU^TUD^{-\frac{1}{2}}$

El $U^TU = 1$ porque las U's tienen longitud unitaria.

$= D^{-\frac{1}{2}}DD^{-\frac{1}{2}}$

$= I$