Secuencia de Cauchy en $L^p$, existencia de un conjunto con medida finita y la integral es menor que epsilon sobre el complemento

Question

La configuración es la siguiente, para cada una de las $f\in L^p$, definir un conjunto de función $\lambda_f$ $\mathcal{A}$ $$\lambda_f(E)=\left(\int_E |f|^p d\mu\right)^{1/p}=\|f\cdot I_E\|_p.$$

Deje $(f_n)$ ser una secuencia de Cauchy en $L^p$. Demostrar que para todos los $\epsilon >0$, existe un conjunto $E\in\mathcal{A}$ (dependiendo $\epsilon$) $\mu (E)<\infty$ tal que para todos los $F\in\mathcal{A}$$F\subseteq E^c$, $\lambda_{f_n} (F)<\epsilon$ todos los $n\in\mathbb{N}$.

Traté de demostrar por contradicción: Supongamos que al contrario de todos los $E\in\mathcal{A}$ con $\mu(E)<\infty$, $\exists F\in\mathcal{A}$ con $F\subseteq E^c$ pero $\lambda_{f_n}(F)\geq\epsilon$ todos los $n\in\mathbb{N}$.

Intuitivamente, veo que eso puede ser un problema como $\mu(E)$ se hace más grande, $\lambda_{f_n}(F)$ debe tender a cero? Sin embargo no sé cómo demostrarlo rigurosamente.

Gracias por la ayuda.

Nota: me puse una recompensa para atraer a más respuestas, de modo que pueda elegir uno que yo pueda entender. Teniendo algunos problemas con la comprensión de este.

Answer 1

Como se ha mencionado por Svetoslav, la palabra clave aquí es "integrabilidad uniforme".

Primero observamos que el resultado es cierto si se toma sólo una función de $f$, en lugar de una secuencia (o si se prefiere, cuando su secuencia $(f_n)$ es constante). Esto no es completamente trivial si usted no desea utilizar cualquier teorema. Para cada $k\in\mathbb N$,$E_k:=\{ 1/k\leq \vert f\vert\leq k\}$. La secuencia de $(E_k)$ está aumentando, y el complemento de $E_\infty:=\bigcup_k E_k$ es igual a $\{ f=0\}\cup\{ \vert f\vert=\infty\}$. Desde $\vert f(x)\vert<\infty$ en casi todas partes (porque $f\in L^p$), se deduce que el $\int_{E_\infty^c} \vert f\vert^p=0$. Ahora, considere el finito de medida $\mu_f$ definido por $\mu_f(A):=\int_A \vert f\vert^p$. Desde $\mu_f$ es finito y $(E_k)$ es creciente, $\mu_f(E_k^c)\to \mu_f(E_\infty^c)=0$. Así que uno puede encontrar $k$ tal que $\mu_f(E_k^c)<\varepsilon^p$, es decir, $\lambda_f(E_k^c)<\varepsilon$. Finalmente, $E_k$ ha finito $\mu$-medida debido a $\vert f\vert\geq 1/k$ $E_k$ $f\in L^p$ (formalmente, aplicar la desigualdad de Markov a $\vert f\vert^p$). Así que usted puede tomar $E:=E_k$ a esta convenientemente elegidas $k$.

A partir de la "función", se deduce fácilmente que uno puede encontrar un adecuado conjunto de $E$ para cualquier finito familia de funciones $f_1,\dots ,f_N$.

Ahora, volvamos a nuestra secuencia de Cauchy $(f_n)$, y asumir que el resultado no es cierto para algunos $\varepsilon >0$. Por el anterior comentario, esto significa que para cualquier conjunto a$E$$\mu(E)<\infty$, uno puede encontrar arbitrariamente grande, $n\in\mathbb N$ tal que $\lambda_{f_n}(E^c)\geq\varepsilon)$.

Desde $(f_n)$ es de Cauchy, uno puede encontrar la $N\in\mathbb N$ tal que $\Vert f_n-f_N\Vert_p<\varepsilon/2$ todos los $n\geq N$; a continuación, un conjunto $E$ $\mu(E)<\infty$ tal que $\lambda_{f_N}(E^c)<\varepsilon/2$ ("una función de caso"); y, a continuación, $n\geq N$ tal que $\lambda_{f_n}(E^c)\geq\varepsilon$. Pero esto es una contradicción ya que, por la desigualdad de Minkowski, tenemos $$\lambda_{f_n}(E^c)\leq \lambda_{f_n-f_N}(E^c)+\lambda_{f_N}(E^c)\leq \Vert f_n-f_N\Vert_p+\lambda_{f_N}(E^c)<\varepsilon\, . $$

Answer 2

Si $f \in L^p$$\epsilon>0,$, entonces no es una simple función de $s, 0\le s \le |f|^p,$ tal que $\int_X(|f|^p-s) < \epsilon.$ $s\in L^1,$ así que no hay valor distinto de cero de a $s$ puede ser tomado en un conjunto de medida infinita. Debido a $s$ tiene sólo un número finito de valores, el conjunto $E=\{s>0\}$ tiene medida finita. Así

$$\int_{E^c}|f|^p = \int_{E^c}(|f|^p-s)+ \int_{E^c}s \le \int_{X}(|f|^p-s)+ 0 < \epsilon.$$

Ahora supongamos $f_n$ es de Cauchy en $L^p$ $\epsilon >0.$ podemos optar $N$ tal que $\int_X|f_n-f_N|^p <\epsilon/2^p$ $n>N.$ Porque $|f_1|^p+ \cdots +|f_N|^p \in L^1,$ a partir de lo anterior, podemos encontrar $E$ tal que $\mu(E) <\infty$ y

$$\int_{E^c}(|f_1|^p+ \cdots +|f_N|^p) < \epsilon/2^p.$$

Que se encarga de $n=1,\dots , N.$ Supongamos $n>N.$ $(a+b)^p \le 2^{p-1}(a^p+b^p)$ $a,b\ge 0,$ hemos

$$\int_{E^c}|f_n|^p \le 2^{p-1}(\int_{E^c}|f_n-f_N|^p +\int_{E^c}|f_N|^p) \le 2^{p-1}(\int_{X}|f_n-f_N|^p + \epsilon/2^p) < \epsilon.$$

Arriba estaba asumiendo $1\le p < \infty,$ pero he usado ninguna de las propiedades de $L^p$ como una normativa espacio lineal. El único lugar que he usado esta restricción fue la desigualdad $(a+b)^p \le 2^{p-1}(a^p+b^p).$ Pero para $0<p <1$ tenemos $(a+b)^p \le a^p+b^p.$ Así que en realidad el anterior funciona para la gama completa $0<p<\infty.$