Cálculo de la confusión de la prueba de la variación.

Question

Así que estaba leyendo la prueba de que la distancia más corta entre dos puntos es una línea ( https://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_of_variations#Example ) pero una línea de la prueba me desconcierta. La declaración es la siguiente:

" $ \frac { \partial L}{ \partial f} - \frac {d}{dx} \frac { \partial L}{ \partial f'}=0$ con L = $ \sqrt {1 + [ f'(x) ]^2}$ .
Como la "f" no aparece explícitamente en la "L", tenemos $ \frac {∂ L}{∂ f}=0$ "

No veo como esta declaración sigue, como, en mi mente, $f'$ podría muy bien seguir dependiendo de $f$ . Por ejemplo, si tomamos $f=x^2$ tenemos $L= \sqrt {1+4x^2}= \sqrt {1+4f}$ una función que depende claramente de $f$ . Si alguien pudiera señalar el defecto de mi lógica/explicar por qué siempre debe ser así, sería muy apreciado!

Answer 1

En este caso $L \colon \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ se define a través de $L(x,f,g) = \sqrt{1 + g^2}$ .

Al escribir $\frac{\partial L}{\partial f}$ el autor se refiere a la derivada de $L$ con respecto a su segunda variable, que en este caso es $0$ desde $f$ no aparece en la expresión para $L$ . (Para decirlo de otra manera, $L$ es constante con respecto a la variable $f$ )

Para ampliar un poco más la notación, $L = \sqrt{1 + f'(x)}$ en realidad significa $$L(x,f(x),f'(x)) = \sqrt{1 + f'(x)}.$$

Answer 2

Creo que para aclarar del todo lo que está pasando es mejor que resolvamos este problema desde cero; entonces quedará claro lo que está pasando. Supongamos que $y_0(t)$ es la trayectoria estacionaria (la trayectoria que minimiza $J[y]$ ) para $$J[y] = \int_{t_1}^{t_0}dt \sqrt{1+(\dot{y})^2}:= \int_{t_1}^{t_0}dt L(t,y,\dot{y}) $$ y $y(t) = y_0(t) +\epsilon\eta(t)$ es una variación tal que $\eta(t_0)=\eta(t_1) = 0$ . Entonces, asumiendo $\epsilon$ es pequeño $$ \sqrt{1+(\dot{y})^2} = \sqrt{1+(\dot{y}_0)^2 + 2\epsilon \dot{\eta}\dot{y}_0}= \sqrt{1+(\dot{y}_0)^2}\left(1+\frac{\epsilon \dot{\eta}\dot{y}_0}{1+(\dot{y}_0)^2}\right) $$ Por lo tanto, $$\delta J=J[y] - J[y_0] = \epsilon \int_{t_0}^{t_1} dt \frac{\dot{y}_0}{\sqrt{1+\dot{y}_0^2}}\dot{\eta}=-\epsilon \int_{t_0}^{t_1} dt \frac{d}{dt}\left[\frac{\dot{y}_0}{\sqrt{1+\dot{y}_0^2}}\right]\eta $$ La última parte es por integración por partes. Ahora la acción ( $J[y]$ ) es estacionario si $\delta J = 0$ para cualquier variación $\eta$ . Esto significa que $$\frac{d}{dt}\left[\frac{\dot{y}_0}{\sqrt{1+\dot{y}_0^2}}\right]=0$$ que resulta ser en realidad $\frac{d}{dt}(\partial L/\partial \dot{y})=0$ (La ecuación de Euler-Lagrange con $\partial L/\partial y=0$ ). Si volvemos a la demostración de la ecuación de Euler-Lagrange veremos que en ningún momento nos importa cómo $y$ depende en realidad de $t$ . En realidad, ese es el objetivo, ya que queremos explorar más todos los caminos posibles y encontrar el extremo. En ese sentido hay que tratar $y$ y $\dot{y}$ como variables independientes ya que en realidad no sabemos nada sobre su funcionalidad y ni siquiera queremos saberlo.

En otras palabras, al tratar los caminos como las variables $\dot{y}=\dot{y}_0+\epsilon \dot{\eta}$ , mientras que $y=y_0 + \epsilon \eta$ . Aunque es muy posible que $y_0$ y $\dot{y}_0$ están relacionados entre sí, ya que $\eta$ es completamente arbitraria, $y$ y $\dot{y}$ son independientes.