¿Cómo convertir una serie de potencias en una serie de Dirichlet?

Question

[Actualización 3] : Me di cuenta de que la serie $s(h)$ a continuación es simplemente una "serie de Dirichlet (general)" (1), así que después de conocer el principio de cómo encontrar la serie de Taylor para alguna función (que puede ser dada por su serie de Dirichlet) ahora puedo hacer mi pregunta más precisa como:

¿cómo encontrar la representación en serie de Dirichlet de una función, dada su serie de Taylor?

(1) - el atributo "general" significa una serie $ \sum_{k=1}^{\infty} a_k*e^{- \lambda _k s}$ donde el $\lambda _k$ forman una secuencia estrictamente monótona de números reales creciente hasta $+\infty$ (K. Knopp, "Series infinitas...", ed. alemana)
(No he cambiado el texto de abajo) [fin de la actualización 3]

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En el estudio de la iteración funcional y la función de Schröder me ocupo de las series del tipo $$ s(h)= a_0* (u^0)^h + a_1* (u^1)^h + a_2 * (u^2)^h + ... $$ donde h es el parámetro (de iteración) "altura".
Normalmente, si esto converge, en la evaluación numérica cambio el orden de cálculo: $$ s(h)= a_0*(u^h)^0 + a_1*(u^h)^1 + a_2*(u^h)^2 + ... $$ lo que significa que en muchos casos lo manejo como una serie de potencias en $u^h$ . Pero cuando consideré el análisis posterior, por ejemplo la derivada con respecto a h , diferencio utilizando $h$ como máximo exponente. (Por cierto, ¿cómo se llama ese tipo de serie?)

Ahora por accidente le pedí a Pari/GP los coeficientes de $s(x)$ y lo que obtuve fue una serie de potencia en x . Nunca pensé en profundidad en tal conversión, excepto que recuerdo el caso de la conversión de la serie zeta en una serie de potencias utilizando las constantes de Stieltjes.
Ejemplo:

s(h) = 2*1^h -1.09662*1/4^h + 0.100215*1/16^h  -0.00366327*1/64^h 
     + 0.0000717362*1/256^h  -0.000000874084*1/1024^h + ... - ... 
ps(x) = 1.00000 + 1.25723*x - 0.699161*x^2 + 0.172874*x^3 + 0.0350749*x^4    
     - 0.0550780*x^5 + 0.0288564*x^6 - 0.00942667*x^7 + O(x^8)

Bueno, creo que lo que Pari/GP hace internamente es calcular las derivadas de $s(h)$ y construir la serie de Taylor. Pero ahora tengo curiosidad (y esa es mi pregunta): ¿Cómo podría convertir una serie de potencias ps(x) en una serie de s(h) -¿tipo?

[actualización] Creo que el comentario a Mitch sería un buen antecedente y explicación adicional para la pregunta, así que lo copio aquí y lo amplío un poco

Originalmente estoy interesado en el método : cómo uno haría tal conversión de $ps(x)$ a $s(h)$ ?
Tenga en cuenta que algunos valores de $s(h)$ son $s(1) \approx 1.73205$ , $s(2) \approx 1.93185$ .

Mi ejemplo proviene de la iteración de la función $$f(x) = \sqrt{2+x}$$ $$f(f(x))=\sqrt{2+\sqrt{2+x}} $$ $$f(f(f(x))) =\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+x}}} $$ y así sucesivamente.

Ahora $f(x)$ tiene una serie de potencias en $x$ así como $f(f(x))$ y para cada iteración hay otra serie de potencias. El método de las funciones de Schröder aplicado a una versión recentrada de $f(x)$ que no tiene término constante (también llamada "iteración regular"), permite encontrar una serie de potencias $F(x,h)$ en dos variables donde $h$ significa la "altura" de la iteración. En dicha función $F(x,h)$ los coeficientes en potencias de $x$ son polinomios en $\lambda^{ h}$ (donde $\lambda$ es un valor propio de la función que suelo denotar como $u$ para la legibilidad ASCII).

Si pongo $x=1$ y reordenar la suma recogiendo como potencias de $\lambda^h $ Tengo una serie en $\lambda^h$ sólo que llamé $S(h)$ Esta función da exactamente el valor del h La iteración de $f(x)$ a partir de x=1 simplemente significa $ s(h) = F(1,h) $

Pero $s(h)$ no tiene la forma habitual de una serie de potencias en $h$ como se muestra arriba. Cuando pedí a Pari/GP una evaluación en algún h Accidentalmente escribí $s(x)$ y Pari/GP devolvió una serie de poder en x , lo llamé arriba $ps(x)$ . $s()$ y $ps()$ tienen formas completamente diferentes pero dan el mismo resultado: $s(h) = ps(h)$ donde ambas funciones convergen.

El $s(h)$ así como el $ps(x)$ -permiten también la iteración continua (es decir, fraccionada) dando los mismos valores. Curiosamente, el comportamiento de la convergencia de las dos formas es completamente diferente. El límite para $h\to\infty$ es inmediatamente visible en $s(h)$ pero para $ps(h)$ que probablemente sería una serie divergente, mientras que para $h=0$ vemos inmediatamente que $ps(h)=1$ pero no lo reconocería por $s(h)$

Answer 1

No estoy seguro de que hayas encontrado la respuesta, pero este enlace en Math Overflow lo resuelve.

Básicamente, si $F(s) = \sum_{n\ge 1} \frac{a_n}{n^s}$ con abscisa de convergencia absoluta $\sigma_a$ entonces

\begin{eqnarray*} \lim_{T\to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^T F(\sigma + it) m^{it} dt &=& \lim_{T\to \infty} \frac{1}{2T} \sum_{n\ge 1} \int_{-T}^T\frac{a_ndt}{n^{\sigma}(n/m)^{it}}\\ &=& \lim_{T\to \infty} \frac{1}{2T} \sum_{n\ge 1, n\not=m}\frac{a_n}{n^{\sigma}} \frac{(n/m)^{iT} - (n/m)^{-iT}}{i\log (n/m)} + \frac{a_m}{m^\sigma} \end{eqnarray*}

Desde $\frac{(n/m)^{iT} - (n/m)^{-iT}}{i\log (n/m)}$ está acotado como $T\to\infty$ todo se desvanece, excepto $\frac{a_m}{m^\sigma}$ Así que

$$\lim_{T\to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^T F(\sigma + it) m^{it} dt = \frac{a_m}{m^\sigma}$$

A continuación, para recuperar la serie de dirichlet a partir de la serie de potencias, basta con aplicar esta transformación para cada valor de $m$ .