¿Cuál es la distribución de los números reales con cifras parciales?

Question

Supongamos que tengo una secuencia infinita de sesgada bits donde la probabilidad de $1$ $2/3$ y la probabilidad de $0$ $1/3.$ Si puedo ver estos como los dígitos, en el binario de expansión de un número real, entonces esta secuencia se define un número real en el intervalo de $[0,1]$. Entonces, ¿qué tipo de distribución que se hace de este número real?

Algunas de las consideraciones que he hecho hasta ahora, es que la probabilidad de entre el $0.5$ $1$ debe ser de dos veces la probabilidad de entre el $0$ $0.5.$ Igualmente la probabilidad de entre el $0.25$ $0.5$ debe ser de dos veces la probabilidad de entre el $0$ $0.25.$ a Un general de la manera de escribir esto es la relación recursiva es

$$F(2x) - F(x) = 2F(x).$$

La adición de las condiciones de contorno puedo conseguir las tres ecuaciones

$$F(0)=0\\ F(1)=1\\ F(2x)=3F(x)$$

que, si se la ve como una recurrencia de la relación, tiene la solución a $F(x) = x^{\log_2(3)}$. Mi pregunta es: ¿Es esto realmente hermético? La configuración de estas ecuaciones y mediante la solución de una relación de recurrencia sentí un poco de lado ondulado. Fácilmente se puede comprobar que $x^{\log_2(3)}$ satisface las condiciones anteriores para los números reales en el intervalo de $[0,1]$, pero es que esta solución es única?

Answer 1

Su recursividad da una condición de la función de distribución acumulativa satisface (en un sentido, tiene fractal copias de la función en sí misma), pero hay varias funciones que satisfacen esa.

Usted no esperaría que la función de distribución acumulativa para ser una función suave ya que por ejemplo los valores de la forma binaria $0.0111xyz\ldots_2$ tienen cuatro veces más probabilidades que las personas de la forma $0.1000xyz\ldots_2$

La función de distribución acumulativa parece este aspecto de la línea roja, mientras que $x^{\log_2(3)}$ es la línea azul

y se puede ver que $x^{\log_2(3)}$ sólo da el valor correcto al $x$ es un poder negativo de $2$, como Ross Millikan comentó

Al $x=\dfrac{k}{2^n}$ para algunos enteros $k,n$, usted tiene $F(x)=\dfrac{a(k)}{3^n}$ donde $a(k)$ es OEIS A006046 (el número impar de entradas en el primer $k$ filas del triángulo de Pascal). Otros valores pueden ser encontrados por los límites desde $F(x)$ está aumentando, y mirando a Michael Hardy ejemplo, parece que se debe tener un $F(\frac15)=\frac{5}{77},\, F(\frac25)=\frac{15}{77},\, F(\frac35)=\frac{29}{77},\, F(\frac45)=\frac{45}{77}$

Answer 2

Supongamos por $0\le x\le 1$ tenemos $F(x) = \Pr(X\le x) = x^{\log_2 3}.$

A continuación, $F(0) = 0$ $F(1/2) = 1/3$ $F(1)=1,$ todo como se esperaba.

Deje $D_1,D_2,D_3,\ldots$ ser los dígitos binarios de $X.$ queríamos que estos a ser yo.yo.d. con cada uno igual a $1$ con una probabilidad de $2/3.$

Observar que esto significa $\displaystyle X = \sum_{k=1}^\infty \frac{D_k}{2^k}$ $\displaystyle 2(X - D_1/2) = 2X-D_1 = \sum_{k=2}^\infty \frac{D_k}{2^k} $ ambos tienen la misma distribución, ya que las dos secuencias de $(D_1,D_2,D_3,\ldots)\vphantom{\dfrac11}$ $(D_2,D_3,D_3,\ldots)$ ambos tienen la misma distribución. La distribución condicional de $2X-D_1$ $D_1$ tiene la misma distribución, y desde $2X-D_1$ está determinado por $D_2,D_3,D_4,\ldots,$ tenemos $2X-D_1$ independiente de $D_1.$ Desde $2X-D_1$ es independiente de $D_1$ $2X-D_1$ tiene la misma distribución que el$X$, podemos decir \begin{align} F(x) & = \Pr(X\le x) = \Pr(2X-D_1\le x) = \Pr(2X-D_1\le x \mid D_1=1) \\[10pt] & = \frac{\Pr(2X-D_1 \le x\ \&\ D_1=1)}{\Pr(D_1=1)} = \frac{\Pr(1/2 \le X \le \frac{x+1} 2)}{2/3} = \frac{\left( \frac{x+1} 2 \right)^{\log_2 3} - 1/3}{2/3}. \end{align} Es el verdadero? $$ x^{\log_2 3} \, \desbordado{\Large\text{?}} = \frac{\left( \frac{x+1} 2 \right)^{\log_2 3} - 1/3}{2/3} $$ Pero algunos de computación numérica da contraejemplos para esto. Ellos no son iguales al $x=0.2.$