Existencia de variación

Question

Que $I[w] =\int_U L(Dw,w,x) dx$. Que $1<q constantes="" existen="" y="">0$, $\beta\ge0$ tal que % $ $$L(p,z,x)\ge \alpha |p|^q - \beta$</q>

Esto implica eso si existe $I[w]$ %#% $ #%

Ahora Evans dice que $$I[w] \ge \alpha |Dw|_{L^q}^q -\beta |U|$ que $w\in W^{1,q}(U)$el % definido pero posiblemente infinita. ¿Cuál es la razón de esto? ¿Es cierto que funciona siempre que se limita a continuación son integrables (donde integral puede ser $I[w]$)?

Answer 1

En un conjunto finito de medida (como $U$ aquí) cada medibles función que está delimitada de la siguiente tiene una bien definida integral, el cual es un número real o $+\infty$. De hecho, uno puede escribir $f=f^+-f^-$ donde$f^+=\max(f,0)$$f^-=\max(-f,0)$. A continuación, defina $\int_U f=\int_U f^+-\int_U f^-$. La segunda integral es finito, la primera puede ser $+\infty$.

En este caso, $L(Dw(x),w(x),x)$ es limitada, desde abajo, por $-\beta$. Uno todavía tiene que comprobar que es medible, que requiere la colocación de alguna condición en $L$ (continuidad es suficiente, pero hay más condiciones generales que ser suficiente para este propósito).