Dejemos que $A,B\in M_{2}(\mathbb{R})$ para que $A^2 = B^2 = I$ . Que son valores propios de $AB$ ?
1) $1\pm \sqrt 3$
2) $3 \pm 2\sqrt2$
3) $\dfrac {1}{2},2$
4) $2 \pm 2\sqrt 3$
Respuestas
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Es fácil demostrar que las posibilidades (1) y (4) son imposibles. Nótese que la magnitud de los determinantes de ambas $A$ y $B$ debe ser $1$ En efecto $$1 = \det(A^2) = \det(B^2) \implies |\det(A)| = |\det(B)| = 1$$ Esto implica necesariamente que $|\det(AB)|=1$ es decir, el producto de los valores propios debe tener una magnitud $1$ . Esta condición se cumple con las opciones (2) y (3), donde el producto de los valores propios es simplemente $1$ pero no por las opciones (1) y (4).
Ahora voy a demostrar que ambas posibilidades (2) y (3) son posibles. Para (3), dejemos que $$A = \begin{pmatrix}\sqrt{2} & 1 \\ -1 & -\sqrt{2}\end{pmatrix},\ \ \ \ \ \text{and}\ \ \ \ \ \ B=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & -1 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$$ Puede comprobar fácilmente que $A$ y $B$ satisfacer $A^2 = B^2 = I$ . Su producto viene dado por $$AB = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & -\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 2\end{pmatrix}$$ que tiene valores propios $1/2$ y $2$ exactamente como se requiere. Permítanme ahora explicar cómo encontré este ejemplo, y el mismo procedimiento les permitirá construir un ejemplo para el caso (2).
Existe una parametrización bastante conocida para las matrices que satisfacen $A^2 = I$ en el $2\times 2$ caso. Puede comprobar que cualquier $2\times 2$ matriz en forma de $$A=\begin{pmatrix}x & y \\ \frac{1-x^2}{y} & -x\end{pmatrix}$$ para cualquier $x,y\in\mathbb{R}$ satisfará $A^2 = I$ . Esta condición se puede encontrar en el artículo de wikipedia para matrices involuntarias por ejemplo. Para simplificar la expresión anterior, pongamos $y=1$ en general. Entonces probamos un producto de la forma $$AB = \begin{pmatrix}a & 1 \\ 1-a^2 & -a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b & 1 \\ 1-b^2 & -b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}ab+1-b^2 & a-b\\ab^2 + (1-a^2)b - a & 1-a^2+ab\end{pmatrix}$$ donde $a$ y $b$ son libres de variar. La idea es elegir $a$ y $b$ para que tengamos los valores propios deseados. Sin embargo, sigue siendo bastante difícil encontrar los valores propios que necesitamos. Así que vamos a tratar de hacer la matriz del producto triangular para que podamos leer los valores propios de la diagonal.
Hacer que el producto sea triangular inferior requiere $a=b$ que sólo da la solución trivial $A=B$ y $AB=I$ .
Si intentamos que el producto sea triangular superior, encontramos la condición $b = -\frac{1}{a}$ resolviendo la cuadrática en $b$ que se encuentra en la entrada inferior izquierda. El producto se reduce entonces a $$AB = \begin{pmatrix}-\frac{1}{a^2} & a+\frac{1}{a} \\ 0 & -a^2\end{pmatrix}$$ Esto es casi lo que necesitamos, excepto que los valores propios aquí son negativos. Para solucionar esto, simplemente tomamos el negativo de $B$ utilizado en las expresiones anteriores, es decir $$B=-\begin{pmatrix}b & 1 \\ 1-b^2 & -b\end{pmatrix}$$ Hemos tenido suerte aquí ya que la solución ahora nos permite producir cualquier par de valores propios positivos $\lambda_1$ y $\lambda_2$ tal que $\lambda_1\lambda_2 = 1$ .
Tomando $a = \sqrt{2}$ da una solución para el caso (3) que he incluido arriba. Tomando $a = \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$ a continuación, daremos el caso (2) que dejo que lo resuelvan ustedes mismos.
mkoeller
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Chris Ballance
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Como $A^2=B^2=I$ los determinantes de $A$ y $B$ sólo puede ser $\pm$ . Por lo tanto, $\det(AB)$ también es igual a $\pm1$ . Como el determinante es igual al producto de los valores propios, se pueden descartar fácilmente los casos (1) y (4).
¿Son posibles los casos (2) y (3)? Para que sean posibles, es obvio que ninguno de los dos $A$ ni $B$ puede ser igual a $\pm I$ . De ello se desprende que ambos $A$ y $B$ son similares a $\operatorname{diag}(1,-1)$ . Por lo tanto, tomamos $A=\operatorname{diag}(1,-1)$ y tratar de construir un $B$ . Como señala Eu Yu, las matrices involuntarias son muy útiles. Para simplificar, probemos $$ B=\pmatrix{x&1\\ 1-x^2&-x}. $$ Siempre tenemos $B^2=I$ y $\det(B)=-1$ independientemente de $x$ y $$ AB=\pmatrix{x&1\\ x^2-1&x}. $$ Los valores propios de a $2\times2$ están determinados únicamente por la traza y el determinante de la matriz. En ambos casos (2) y (3), tenemos $\det(AB)=1$ que ya se satisface con nuestras elecciones de $A$ y $B$ . Queda por ajustar las trazas. En el caso (2), $\operatorname{trace}(AB)=(3+\sqrt{2})+(3-\sqrt{2})=6$ por lo que podemos establecer $x=3$ . En el caso (3), $\operatorname{trace}(AB)=2+\frac12=\frac52$ y podemos establecer $x=\frac54$ .
