Una identidad que implica la norma matricial y la norma vectorial en relación con una matriz de densidad en física

Question

Esta pregunta es autónoma. Para aquellos que estén interesados, surge de mi estudio del documento:

K Lendi (1987), Matriz de evolución en una formulación de vectores de coherencia para las ecuaciones maestras cuánticas markovianas de sistemas de N niveles , J. Phys. A: Math. Gen. , 20(1): 15-23.

La pregunta es sobre la norma de Frobenius al cuadrado $\|\rho\|_F^2=\operatorname{Tr}(\rho^2)$ (véase la fórmula 2.32 en el documento) de una "matriz de densidad" autoadjunta en física. Esta matriz de densidad tiene una representación $$ \rho = \frac{1}{N} \operatorname{id} + \sum_{k=1}^{N^2-1} v_k F_k \tag{2.16} $$ donde las matrices $F_i$ forman una base ortonormal del espacio de las matrices hermitianas sin trazos. De ello se deduce que $v_i=\operatorname{Tr}(\rho F_i)$ .

Consideremos ahora la norma euclidiana al cuadrado $\|v\|_2^2 = \sum_{k=1}^{N^2-1} v_k^2$ (2.33).

Quiero saber por qué $\|\rho\|_F^2 = \frac{1}{N} + \|v\|_2^2$ se mantiene.

Answer 1

Sólo hay que calcular $$ \rho^2=\rho\rho^*=\left(\frac{1}{N}\text{id}+\sum_{k=1}^{N^2-1}\nu_kF_k\right) \left(\frac{1}{N}\text{id}+\sum_{m=1}^{N^2-1}\nu_mF_m\right)^*=\\ =\frac{1}{N^2}\text{id}+\sum_{k,m=1}^{N^2-1}\nu_k\bar\nu_mF_kF_m^*+\text{terms with only $ F_k $ or $ F_m^* $} $$ y utilizar el hecho de que $\{\text{id},F_k\}$ es una base ON (con respecto a la norma de Frobenius) $$ \|\rho\|_F^2=\text{tr}\,(\rho\rho^*)=\frac{1}{N^2}\text{tr(id)}+ \sum_{k,m=1}^{N^2-1}\nu_k\bar\nu_m\underbrace{\text{tr}\,(F_kF_m^*)}_{=\delta_{k,m}}+0=\frac{1}{N^2}N+ \sum_{k=1}^{N^2-1}|\nu_k|^2. $$