La traza y la derivada de Lie de un tensor se conmutan

Question

¿Cómo podemos demostrar que la traza y la derivada de Lie de un $(1,1)$ -¿Intercambio de tensor? Es decir, quiero demostrar que $$ \operatorname{tr}(L_X S) = L_X \operatorname{tr}S, $$ donde $S$ es un $(1,1)$ -tensor. Este es el ejercicio 2.5.10 de Geometría de Riemann (tercera edición), por Peter Petersen .

Mi idea es considerar la definición de la traza de un operador lineal $L : V \to V$ (donde $V$ es un espacio vectorial) dado por $$ \operatorname{tr}L = \sum_{i=1}^n g(L(e_i),e_i), $$ donde el $e_i$ forman una base ortonormal.

Además, en el ejercicio 2.5.9 (el que precede a éste) se pide demostrar que $\operatorname{tr} (\nabla_X S) = \nabla_X \operatorname{tr}S$ ¿Y tal vez esto pueda ser utilizado en la prueba del problema actual?

También quería cambiar el tipo de $(1,1)$ -tensor $S$ en un $(0,2)$ -tensor $\hat S$ a través de la fórmula $\hat S(X,Y) = g(S(X),Y)$ para poder utilizar la proposición 2.1.2 de Petersen:

Si $X$ es un campo vectorial y $T$ a $(0,k)$ -tensor en un colector $M$ entonces $$ (L_X T)(Y_1,\ldots,Y_k)=D_X(T(Y_1,\ldots,Y_k))-\sum_{i=1}^k T(Y_1,\ldots,L_X Y_i,\ldots,Y_k). $$

¿Puedo solicitar alguna opinión sobre este asunto?

Answer 1

Sugerencia Podemos escribir la derivada de Lie de un tensor $S$ de tipo $(1, 1)$ en términos de cualquier conexión sin torsión (la conexión Levi-Civita $\nabla$ de la métrica ciertamente funciona) como $$\mathcal L_X S = \nabla_X S - (\nabla X) \circ S + S \circ \nabla X .$$

Ahora el resultado se deduce de la identidad $\operatorname{tr} \nabla_X S = \nabla_X \operatorname{tr} S$ que has mencionado y una identidad de traza estándar (lineal-algebraica).

(Nótese, por cierto, que la identidad de la traza $\operatorname{tr} \mathcal L_X S = \mathcal L_X \operatorname{tr} S$ sólo implica la derivada de Lie y la traza, por lo que en particular es independiente de la métrica. En consecuencia, podemos escribir la traza de un endomorfismo $L : V \to V$ en términos de cualquier base $(e_a)$ como $\sum_{a = 1}^n \epsilon^a(L(e_a))$ , donde $(\epsilon^a)$ es la base de $V^*$ doble a $(e_a)$ .)