Orden de este grupo

Question

$k\in{\mathbb{N}}$, Denotan $\Gamma _2(p^k)$ el grupo multiplicative de toda matriz $\begin{bmatrix}{a}&{b}\{c}&{d}\end{bmatrix}$ $a,b,c,d\in\mathbb{Z}$, $ad-bc = 1$, $a$ y $d$ es igual al módulo de $1$$p^k$y $b$ y $c$ son múltiplos de $p^k$.

¿Cómo puedo mostrar que $|\Gamma _2(p)/\Gamma _2(p^k)|\le p^{4k}$?

Answer 1

Al exhibir un conjunto de a más $N=p^{4k}$matrices $A_1,\ldots,A_N\in\Gamma_2(p)$ tal que para cada $B\in\Gamma_2(p)$ tenemos $A_iB\in\Gamma_2(p^k)$ $i$. Matrices de la forma $A_i=I+pM_i$ sugieren ellos mismos.

O mucho más simple: contando cuántas matrices en $\Gamma_2(p)$ y $\Gamma_2(p^k)$ mapa para el mismo elemento de $SL_2(\mathbb Z/p^k\mathbb Z)$ bajo la proyección canónica.