¿Una errata en una fórmula de Ramanujan?

Question

En el artículo de Mathworld Función gamma en la línea (96), encontramos la fórmula,

$\sum_{k=0}^\infty (8k+1)\left(\frac{\Gamma(k+\frac{1}{4})}{k!\;\Gamma(\frac{1}{4})}\right)^4 = 2^{3/2}\frac{1}{\sqrt{\pi}\,\left(\Gamma(3/4)\right)^2}$

En un capricho, evalué el LHS y RHS usando Mathematica a Precisión de 100 dígitos y encontré los primeros dígitos como,

$\text{LHS} = 1.062679901\dots$

$\text{RHS} = 1.062679899\dots$

No coinciden. Si se trata de un error tipográfico, entonces me parece interesante que es excesivamente cerca.

¿Cuál es el problema? 1) ¿Lo he introducido mal en Mathematica? 2) ¿Hay un error tipográfico, o un símbolo mal colocado por los autores después de Ramanujan (Weisstein da a Hardy et al como referencias) 3) ¿O simplemente Ramanujan se equivocó?

Answer 1

La serie en cuestión converge lentamente, $(8k+1) \left( \frac{(1/4)_k}{k!} \right)^4 \sim \frac{8}{k^2 \Gamma^4(1/4)}$ por lo que es posible que no haya computado suficientes términos.

La suma representa un valor de una función hipergeométrica: $$ \sum_{k=0}^\infty (8k+1) \left( \frac{(1/4)_k}{k!} \right)^4 = {}_4F_3\left( \frac{1}{4},\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}; 1,1,1 | 1\right) - \frac{1}{32} {}_4F_3\left( \frac{5}{4},\frac{5}{4}, \frac{5}{4}, \frac{5}{4}; 2,2,2 | 1\right) $$ Su evaluación numérica coincide con la expresión en términos de $\Gamma$ constante:

In[18]:= Sum[(8 k + 1) (Pochhammer[1/4, k]/k!)^4, {k, 0, \[Infinity]}]

Out[18]= 1/32 (32 HypergeometricPFQ[{1/4, 1/4, 1/4, 1/4}, {1, 1, 1}, 
     1] + HypergeometricPFQ[{5/4, 5/4, 5/4, 5/4}, {2, 2, 2}, 1])

In[19]:= N[%, 30]

Out[19]= 1.06267989991684365118249019510

In[20]:= N[(2^(3/2)/(Sqrt[Pi] Gamma[3/4]^2)), 30]

Out[20]= 1.06267989991684365118249019510

Answer 2

FWIW, Maple 16 obtiene la suma correcta (simbólicamente, y numéricamente dentro de un error de redondeo razonable).

L:= Suma((8*k+1)*(GAMMA(k+1/4)/k!/GAMMA(1/4))^4,k=0..infinito);

R:= valor(L);

$$ R := 2\,{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {\pi } \left( \Gamma \left( 3/4 \right) \right) ^{2}}}$$

evalf(L - R, 100);

$$ 0.1\ 10^{-98} $$