Aquí es un ejercicio a que estoy pegado. No estoy seguro de cómo abordar esto:
Existe un ordenamiento parcial de $ \mathbb{R} $ sin cadenas incontables o antichains
Mientras buscan ayuda, me encontré con el árbol de Suslin, que, por lo que parece, no existe necesariamente. No sé dónde buscar algunas pistas
Le agradeceria alguna ayuda
Si, por antichain, significa que todos los miembros son pares incompatibles, entonces tome $P$ a ser el conjunto de todos los finita parcial mapas de $\mathbb{R}$ $\{0, 1\}$ordenado por la inversa de la inclusión. Esto también da ejemplos de todas las cardinalidades.
Si por antichain, significa que todos los miembros son pares incomparable, a continuación, fije bien el pedido de $\preceq$$\mathbb{R}$$a, b \in \mathbb{R}$, definir $a \leq_1 b$ fib $a \leq b \wedge a \preceq b$. Tenga en cuenta que, por Erdős-Rado, este ejemplo es óptima en el sentido de que no hay tal orden parcial en un conjunto de tamaño $> |\mathbb{R}|$.
Yo sólo voy a publicar una versión más detallada del segundo párrafo de hot_queens respuesta (que también es, básicamente, esta respuesta), ya que me tomó algún tiempo para entenderlo:
Revisión de algunos de pedidos a $\preceq$$\mathbb R$, y, a continuación, defina $a \sqsubseteq b$ fib $a \leq b$$a \preceq b$.
A continuación, vamos a $S$ ser una cadena, y supongamos $S$ es incontable. Para cada $y$, vamos a $S_{<y}$ el conjunto de los números en $S$ que son de menor tamaño (w.r.t. $\leq$) de $y$. A continuación, vamos a
$$ x = \inf \{y : S_{<y}\text{ es incontable}\} $$ Tenemos $x \neq \infty$ porque $S$ es incontable, y $x \neq -\infty$ porque $S$ tiene un menor elemento. Así que hay dos casos:
$x$ es el menor número tal que $S_{<x}$ es incontable. Entonces tiene que haber una infinita secuencia ascendente de los números de $x_i \in S_{<x}$ que convergen a $x$.
Ahora, tenemos $S_{<x} = \bigcup_{i \in \mathbb N} S_{<x_i}$. Pero cada $S_{<x_i}$ es contable, por lo $S_{<x}$ tiene que ser contables, lo cual es una contradicción.
Así que cada cadena es contable.
El argumento para antichains es muy similar: Cualquier antichain es bien ordenado w.r.t. $\preceq$ , por lo que "invertir bien ordenada" w.r.t. $\leq$. Así que usted sólo tiene que repetir el argumento anterior, mientras que "flipping" de cada referencia para el pedido de $\leq$.
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