Enunciado del problema: se asume lo siguiente: $L^2[-\pi,\pi]$ es un verdadero espacio de Hilbert con el producto interior
$$\langle f,g\rangle = \int_{-\pi}^\pi f(x)g(x)dx$$
y el conjunto de
$$\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{\sin{nx}}{\sqrt{\pi}},\frac{\cos{nx}}{\sqrt{\pi}} : n=1,2,3,\dotsc\right\}$$
es una base ortogonal para $L^2[-\pi,\pi]$. Deje $V$ ser el espacio vectorial spaneed por el conjunto de
$$\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{\sin{x}}{\sqrt{\pi}},\frac{\cos{x}}{\sqrt{\pi}},\frac{\sin{2x}}{\sqrt{\pi}},\frac{\cos{2x}}{\sqrt{\pi}},\right\}$$
Encontrar una función $g \in V$ tal que $$ \int_{-\pi}^\pi xf(x) dx = \int_{-\pi}^\pi g(x)f(x)dx $$ para todos los $f \in V$, y muestran que la $g$ es único en $V$. Luego, encuentra todas las soluciones posibles a $g \in L^2[-\pi,\pi]$ que satisfacen la condición anterior.
Mi intento: no tengo idea de qué estoy haciendo con este. Yo sé que cualquier $f\in V$ tiene una representación única como combinación lineal de los elementos de la base dada, así que
$$f = \sum^5_{i=1}\langle f, e_i\rangle e_i$$
donde $e_i$ $i$ésimo elemento de la base de $V$ dado anteriormente.
Ahora, en el espacio de Hilbert del lenguaje, estamos tratando de encontrar una $g \in V$ tal que
$$\langle x,f\rangle = \langle g,f \rangle$$
para todos los $f\in V$.
Pero corto de tratar de escribir una combinación lineal de la base de los elementos y la evaluación de las integrales directamente, lo que me hizo intentar y lo tengo complicado, estoy seguro de dónde ir desde aquí. Una sugerencia sería muy apreciada.
