Use la regla de límite para encontrar $\lim_{n\to\infty} n^{2}(1-\cos(\frac{1}{n}))$

Question

He conseguido hacerlo con la regla de L'hospitals pero puedo utilizar identidades trigonométricas para hacerlo más simple?

Answer 1

Multiplica arriba y abajo (falta) por $1+\cos(1/n)$. Después de utilizar el % de identidad $1-\cos^2 t=\sin^2 t$, obtenemos que queremos $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{1+\cos(1/n)}\cdot \frac{\sin^2(1/n)}{(1/n)^2}\right).$ $ el resto debe seguir de un límite que usted sabe.

Answer 2

Utilizando $$\cos x-\cos y =2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{y-x}{2}$ $ nos encontramos con $x=0$ y $y=\frac1n$ $$ 1-\cos\frac1n=2\sin^2\frac1{2n}$ $Now si sabes $\lim{x\to 0}\frac{\sin x}x=1$, usted también consigue $\lim{n\to\infty}2n\sin\frac1{2n}=1$ así que en última instancia %#% $#%

Answer 3

Con equivalentes:

Es un hecho clásico que $\;1-\cos\dfrac1n\sim\infty\dfrac1{2n^2}$ (para una prueba véase el desarrollo de Taylor de orden $2$ $\cos$), por lo tanto, $$n^2\Bigl(1-\cos \frac1n\Bigr)\sim\infty\frac{n^2}{2n^2}=\frac12.$ $

Answer 4

Empezar con el % de identidad $1-\cos(2x)=2\sin^2(x)$a $$\begin{align} \color{#C00000}{n^2}\left(\color{#00A000}{1-\cos\left(\frac1n\right)}\right) &=\frac{\color{#00A000}{2\sin^2\left(\frac1{2n}\right)}}{\color{#C00000}{\frac1{n^2}}}\ &=\frac12\left(\frac{\sin\left(\frac1{2n}\right)}{\frac1{2n}}\right)^2\tag{1} \end {Alinee el} $$ entonces utilizar el límite $$ \lim{x\to0}\frac{\sin(x)} x = 1\tag {2} $$ a $$ \lim{n\to\infty}n^2\left (1-\cos\left (\frac1n\right) \right) = \frac12\tag {3} $$

Answer 5

Deje de $$\lim\limits{n\to\infty} n^2\left(1-\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)$ $ $m=\frac1n$, entonces deje de $$\lim\limits{m\to 0^+} \frac{1-\cos m}{m^2}=\lim\limits{m\to 0^+} \frac{2\sin^2\left(\frac{m}{2}\right)}{m^2}$ $ $k=\frac{m}{2}$, entonces $$\lim\limits{k\to 0^+} \frac{2\sin^2 k}{4k^2}=\frac12\lim\limits_{k\to 0^+} \frac{\sin^2 k}{k^2}=\frac12$ $