¿Cómo probar $\sqrt{x^2 + y^2} \le |x| + |y|$?

Question

Sólo una sugerencia sobre cómo probar esto, si no una prueba completa, también se agradecería.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ x ^ 2 + y ^ 2 \leq (\lvert x\rvert + \lvert y\rvert) ^ 2 $$ (ver esto expandiendo el lado derecho.)

Answer 2

Para una intuición geométrica, pensar en $(x, y)$ como un punto en el plano, entonces considerar el teorema de Pitágoras.

Answer 3

Por el teorema de Pitágoras, que $c=\sqrt{x^2+y^2}$ igual a la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con puntos $(0,0) (0,x) (0,y)$. Un lado es en el $x$-eje, y el otro lado es en el $y$-eje. Entonces la hipotenusa nunca será mayor que la suma de los dos lados. Hay un poco más si quieres ser formal, pero que es como le configuro.

Answer 4

Podría pensar en las coordenadas cartesianas como coordenadas polares y tenga en cuenta que las funciones trigonométricas seno y coseno se limita arriba y abajo.