Para que los números de $n$ puede la secuencia de $1$ $n$arreglarse de tal manera que cada par de términos consecutivos se suma a un cuadrado perfecto?
Se puede hacer esto en el conjunto de los números naturales? Los números enteros? Racionales?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tito Piezas III
Puntos
13051
(Sólo para resumir las cosas para que la gente no tenga que saltar de MSE, MO, OEIS, ASÍ.)
Esta es una muy interesante pregunta, pero hay dos anteriores MSE posts que ya han cubierto. Post 1 (MSE) pide que $n$ podemos organizar {$1,2,\dots n$} de modo que la suma de $S^k$ de cada dos números adyacentes es un cuadrado (o $k=2$). Un comentarista señaló A090461 por lo tanto,
$$n = 15,16,17,23,25,26,27,\dots,\infty$$
por lo que se conjetura para todos los $n>24$. Que, a su vez, se inspiró en el Post 2 (MSE), que fue el caso general, sino que se centró en las sumas $S^k$$k>2$. Para $k=3$, el OP dio un ejemplo como $n=305$.
Post 3 (MO) da un ejemplo de $k=4$$n=9641$. También fue un cíclica de acuerdo; es decir, la primera y la última de las entradas también tienen una suma $S^k$.
P. S. Re MYXMYX la pregunta aquí si no es cíclica disposición para $n=35$ plazas, MJD encontrado que hay una friolera $17175$ arreglos posibles, por lo que las posibilidades son buenas. Por la actualización de abajo, OEIS dice que no se $57$ maneras de hacerlo.)
