Quiero saber si la serie $\sum \log\left(\cos\frac{1}{n}\right)$ converge o diverge. He hecho algunos intentos para resolver este problema, y yo trabajo aquí:
$\cos(2\theta) = 1-2\sin^{2}(\theta)$
Por lo $\cos\frac{1}{n} = 1-2\sin^{2}\left(\frac{1}{2n}\right)$
Ahora sé que $\log(1-x) = -\left(x + \frac{x^{2}}{2} + \cdots \right)$
Por lo tanto lo que tengo conmigo es $\log\left(1-2\sin^{2}\frac{1}{2n}\right)$ que creo que es menos de $2\sin^{2}\frac{1}{2n}$. Por lo tanto la serie $$\sum\log\left(\cos\frac{1}{n}\right) < 2 \cdot \sum \sin^{2}\frac{1}{2n} < \sum \frac{1}{2n^{2}}$$ y por lo que la serie converge. Mi argumento es correcto.
