En primer lugar, el problema a resolver es puramente de naturaleza categórica y no implica ni inyectiva ni flácido poleas: Dado toda la izquierda-functor exacto ${\mathcal F}:{\mathscr A}\to{\mathscr B}$ entre abelian categorías, definir una medida del fracaso de su derecho exactitud.
Un intento de formalizar este es proporcionado por la noción de $\delta$-functors: $\delta$- functor es una ${\mathbb N}_{\geq 0}$-indexado de la familia de aditivos functors ${\mathcal T}^i: {\mathscr A}\to{\mathscr B}$ ${\mathcal T}^0\cong{\mathcal F}$ junto con, para cualquier secuencia exacta ${\mathscr E}: 0\to X\to Y\to Z\to 0$ ${\mathcal A}$ y cualquier $i\geq 0$, una conexión de morfismos $\delta^i({\mathscr E}): {\mathcal T}^i(Z)\to{\mathcal T}^{i+1}(X)$ de manera tal que la siguiente secuencia larga en ${\mathscr B}$ es exacto:
$$...\to {\mathcal T}^{i-1}(Z)\to{\mathcal T}^i(X)\to{\mathcal T}^i(Y)\to{\mathcal T}^i(Z)\to{\mathcal T}^{i+1}(X)\to ...$$
A continuación, el ${\mathcal T}^i$ $i>0$ puede ser considerado como una compensación por el error de derecho-exactitud de ${\mathcal T}^0$.
Las preguntas de existencia y unicidad surgir.
Para singularidad, se tiene la noción de universalidad: $\delta$- functor ${\mathcal T}^{\ast}$ es universal si por cualquier otra $\delta$-functor ${\mathcal S}^i$ cualquier transformación natural ${\mathcal T}^0\to{\mathcal S}^0$ únicamente pueden ser extendida a una de morfismos de $\delta$-functors ${\mathcal T}\to{\mathcal S}$. La fijación de ${\mathcal T}^0$, universal $\delta$-functors son únicos hasta un único isomorfismo, el criterio más importante para la universalidad es entonces la siguiente: Si ${\mathcal T}$ es effecable en el sentido de que para cualquier $X\in{\mathscr A}$ existe un monomorphism $X\hookrightarrow I$ tal que ${\mathcal T}^i(I)=0$ todos los $i>0$, ${\mathcal T}^{\ast}$ es universal.
¿Qué acerca de la existencia de un effecable $\delta$-functor?
En primer lugar, pensar que los objetos de $I\in{\mathscr A}$ son candidatos requeridos satisfacer ${\mathcal T}^i(I)=0$ todos los $i>0$. Considere la posibilidad de ${\mathcal T}^1$ primera: Si $0\to I\to A\to B\to 0$ es una breve secuencia exacta, a continuación, ${\mathcal T}^1(I)$ debe medir el error de derecho-exactitud de $0\to {\mathcal T}^0 I\to {\mathcal T}^0 A\to {\mathcal T}^0 B\to 0$ - en particular, podría/debería desaparecer cuando esta secuencia ya es exacta? Por lo que dicen que $I$ ${\mathcal T}^0$-preacyclic (no estándar de la terminología, pero necesito para distinguirla de la norma noción de ${\mathcal T}^0$-acyclicity que es más fuerte) si cualquier secuencia exacta $0\to I\to A\to B\to 0$ se queda exacto en virtud de la aplicación de la ${\mathcal T}^0$. Cualquier ${\mathscr A}$-inyectiva objeto es ${\mathcal T}^0$-preacyclic: cualquier secuencia exacta $0\to I\to A\to B\to 0$ $I$ inyectiva es la división exacta y división exactitud se conservan bajo cualquier aditivo functor. Sin embargo, en particular functors puede admitir más preacyclic objetos - por ejemplo, flácido poleas están preacyclic para el mundial de secciones functor.
El ${\mathcal T}^0$-preacyclic objetos son aquellos que de forma intuitiva gustaría que el functors ${\mathcal T}^i, i>0$ a desaparecer al (esto sólo será cierto para el más fuerte noción de ${\mathcal T}^0$-acíclicos objetos en la final, pero por el momento, esa es la idea). Curiosamente, resulta que ya las fuerzas de la definición de ${\mathcal T}^i$ completamente, y el argumento para esto generalmente se denomina dimensión de desplazamiento: Si ya se definió ${\mathcal T}^0,...,{\mathcal T}^n$, y si $X\in{\mathscr A}$ es dado, elija cualquiera de los $0\to X\to I\to X^{\prime}\to 0$ $I$ un preacyclic objeto. A continuación, el largo exacto de las secuencias de los rendimientos de la isomorfismo ${\mathcal T}^{n+1} X\cong\text{coker}\left({\mathcal T}^n I\to {\mathcal T}^n X^{\prime}\right)$, por lo que siempre ya se definió ${\mathcal T}^n$ y usted sabe que los objetos se preacyclic, la definición de ${\mathcal T}^{n+1}$ es forzado.
Todo esto fue un poco descuidado, pero esperemos que motiva que, al final, la idea de la definición de ${\mathcal T}^{\ast}$ a través de la elección de ${\mathcal T}^0$-preacyclic resoluciones. Resulta, sin embargo, que con el fin de hacer este trabajo no se puede trabajar con arbitraria ${\mathcal T}^0$-preacyclic resoluciones sino que tiene el uso de ${\mathscr S}$-resoluciones, donde ${\mathscr S}$ es cualquier clase de ${\mathcal T}^0$-preacyclic objetos que, además, tiene las siguientes propiedades:
Cualquier objeto que admite una incrustación en un objeto en ${\mathscr S}$.
Para$0\to X\to Y\to Z\to 0$$X,Y\in{\mathscr S}$, también se $Z\in{\mathscr S}$.
${\mathscr S}$ es cerrado bajo sumandos.
Si ${\mathscr A}$ tiene suficiente injectives, siempre se puede optar ${\mathscr S}$ a ser la clase de inyectiva objetos, pero en el caso de ${\mathcal T}^0 = \Gamma$ el mundial secciones functor, usted también puede tomar para ${\mathscr S}$ la clase de flácido las poleas.
A posteriori, se aprende que incluso hay una clase más grande ${\mathscr S}$ con las propiedades anteriormente mencionadas, a saber, la clase de los $I\in{\mathscr A}$ satisfacción ${\mathcal T}^i(I)=0$ todos los $i>0$, y se denominan ${\mathcal T}^0$-acíclicos. Sin embargo, aún sin saberlo, ${\mathcal T}^{\ast}$ en adelantado que usted puede probar acyclicity de objetos mostrando que pertenecen a una clase ${\mathscr S}$ con las propiedades anteriores.
Desde mi experiencia, que es común para definir ${\mathcal T}^i$ a través de la inyectiva resoluciones y a mostrar a continuación, que puede ser calculada usando ${\mathscr S}$-resoluciones. Esto tiene la ventaja de que es más sencillo para comprobar la independencia de la elección de la resolución, ya que inyectiva resoluciones son únicos hasta homotopy.
