No he aprendido mucho acerca de primaria de descomposición, pero desde que yo entiendo sobre los dominios de Dedekind, tenemos que todas las fracciones de los ideales son invertible y todos (plain old) ideales factor de forma exclusiva en un producto de primer ideales, por lo que los dominios de Dedekind debe satisfacer esta condición. Son estos los únicos tales anillos, o hay una disminución en la condición en la que nos puede dar?
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Richard
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Cuando uno considera el anillo de enteros algebraicos R de un número de campo, el grupo de Picard Pic(R)=Inv(R)/Prin(R) de la invertible fraccional ideales modulo principales fracciones de los ideales es una medida de cómo de lejos el anillo es de ser un UFD (la finitud del grupo es un clásico teorema de la teoría algebraica de números). En particular, el procedimiento de Cfp(R)=0, precisamente cuando R es un disco flash usb. Si la cardinalidad de Pic(R) es h>1, entonces hth poder de cada invertible ideal fraccional factores de forma exclusiva en el producto de primer ideales.
Tal vez por desgracia, existen anillos de R que no son Ufd pero para que el grupo de Picard es trivial. Un ejemplo de un anillo es $\mathbb{Q}+x\mathbb{R}[x]$. Esto no es para decir que el grupo de Picard no transmitir información importante cuando uno deja el mundo de los Dominios de Dedekind.
Un anillo es un Bezout dominio de si se trata de una integral dominio en el que cada finitely generado ideal es principal. Por ejemplo, si el anillo es de Noetherian, luego de estar un Bezout de dominio es equivalente a ser un PID.
Ahora definir un anillo R a ser un Prufer dominio de si se trata de una integral dominio en el que todos los no-cero finitely generado ideal es invertible. Es un teorema que para un Prufer anillo R, Pic(R) es trivial si y sólo si R es una Bezout de dominio.
Sea T un conjunto no vacío de indeterminates y R integrante de dominio. Los matemáticos han sido durante mucho tiempo interesado en la exploración de la relationshipa entre (1) Pic(R) y Pic(R[T]) y (2) Cl(R) y Cl(R[T]). Fue comprobado por Gabelli que Cl(R)=C(R[T]) si y sólo si R es integralmente cerrado. Llame a cualquier anillo conmutativo seminormal si $b^2=c^3$ implica que existe un elemento $a$ tal que $a^3=b$$a^2=c$. Luego Pic(R)=Pic(R[T]), precisamente cuando R es seminormal.
Por último, tiene sentido - y, de hecho, puede ser muy fructífera para definir el grupo de Picard de un no conmutativa anillo. El caso más común en que este grupo está definida de la siguiente manera. Vamos a R integrante de dominio con cociente campo K, dejar que Un ser finito-dimensional algebra semisimple sobre K y S es un orden de A. a Continuación, se puede definir un grupo de $Pic_R(O)$, que es una cierta cociente del grupo de los invertible fracciones de ideales, y un homomorphism $\varphi: Aut_R(O)\rightarrow Pic_R(O)$. Uno puede adaptar las técnicas de la K-teoría para el estudio de $Pic_R(O)$, y por lo tanto el automorphism grupo de la orden O así.
Una excelente referencia para esto es el siguiente papel de Frolich.
A. Frolich El Grupo de Picard de no conmutativa Anillos, en Particular de las Órdenes, las Transacciones de la AMS, Vol 180 (Junio de 1973), pp 1-45
Primero algunas de las respuestas a los comentarios de arriba:
Uno puede (y debe) definir fraccional ideales para cualquier integrante de dominio $R$. Un fraccional $R$-ideal es distinto de cero $R$-submódulo $I$ de la fracción de campo $K$ tal de que no existe $x \in K \setminus \{0\}$ tal que $xI \subset R$. El producto de dos fracciones de ideales es de nuevo un ideal fraccional, y la multiplicación es asociativa y tiene $R$ a sí mismo como una identidad: en otras palabras, el conjunto de $\operatorname{Frac}(R)$ de la fracción de los ideales de $R$ formas un conmutativa monoid.
Tenemos la noción de un director ideal fraccional: este es un submódulo de la forma$xR$$x \in K^{\times}$. El conjunto de las principales fracciones de los ideales de la forma un subgrupo $\operatorname{Prin}(R)$$R$. Uno podría tomar el cociente $\operatorname{Frac(R)}/\operatorname{Prin(R)}$, pero esto es un poco de un paso en falso, ya que no es un grupo en general.
En el caso de los dominios de Dedekind no hay nada de que preocuparse:
Teorema: Para la integral de dominio $R$, los siguientes son equivalentes:
(i) $R$ es Noetherian, integralmente cerrado de dimensión en la mayoría de uno (un dominio de Dedekind).
(ii) Cada valor distinto de cero integral ideal de $R$ factores en un producto de primer ideales.
(ii) " Cada distinto de cero integral ideal de $R$ factores de forma exclusiva en un producto de primer ideales.
(iii) Las fracciones de los ideales de $R$ formar un grupo.
Así que para un dominio de Dedekind, ciertamente, $\operatorname{Frac}(R)/\operatorname{Prin(R)}$ es un grupo, llamado el ideal del grupo de clase de $R$.
En general, hay una manera fácil de remediar el problema que $\operatorname{Frac}(R)/\operatorname{Prin(R)}$ no se necesita ser un grupo. Es decir, en lugar de tomar el completo monoid de la fracción de ideales, nos restringimos al grupo de la unidad de $I(R)$, el invertible fraccional ideales. Para cualquier dominio $R$, podemos definir el grupo de Picard
$\operatorname{Pic}(R) = I(R)/\operatorname{Prin}(R)$.
Debido a que el teorema anterior, para un no-dominio de Dedekind el grupo de Picard no es la captura de cualquier información sobre el primer ideales en particular. Sin embargo, es diferente de la construcción, coincidiendo con $\operatorname{Pic}(R)$ al $R$ es un dominio de Dedekind-que hace precisamente esto. Para (un poco de) motivación: incluso en el caso de un dominio de Dedekind no nos tomamos el libre abelian grupo en todo el primer ideales: omitimos $(0)$.
Ahora vamos a $R$ ser cualquier Noetherian de dominio. Se puede definir el divisor del grupo de clase $\operatorname{Cl}(R)$ como sigue: vaya a $\operatorname{Div}(R)$ ser el libre abelian grupo generado por la altura de un primer ideales $\mathfrak{p}$ (estos son los ideales, de modo que no es el primer ideal $\mathfrak{q}$ correctamente entre $(0)$$\mathfrak{p}$). También se puede definir, para cada una de las $f \in K^{\times}$, un director divisor $\operatorname{div}(f)$. (No quiero dar la receta exacta, en el caso general: se trata de las longitudes de los módulos. Si $R$ pasa a ser integralmente cerrado, entonces la localización de la $R_{\mathfrak{p}}$ a una altura de un primer $\mathfrak{p}$ es un DVR, por ejemplo, con la valoración de $v_{\mathfrak{p}}$, y luego uno toma $\operatorname{div}(f) = \sum_{\mathfrak{p}} v_{\mathfrak{p}}(f) [\mathfrak{p}]$.) De nuevo el director divisores $\operatorname{Prin}(R)$ forman un subgrupo de $\operatorname{Div}(R)$ y el cociente $\operatorname{Div}(R)/\operatorname{Prin}(R)$ es el divisor del grupo de clase.
Hay un canónica homomorphism $\operatorname{Pic}(R) \rightarrow \operatorname{Cl}(R)$, que es en general, ni inyectiva ni surjective. Sin embargo, el mapa es un isomorfismo en el caso de que $R$ es regular anillo.
Estas construcciones son las afín versiones de más familiar construcciones en clásicos de la geometría algebraica: son, respectivamente, los divisores de Cartier y divisores de Weil, que de acuerdo sobre un nonsingular variedad, pero en general no.
Por último, también se puede definir análogos de estos grupos para que algunos no Noetherian dominios (el Noetherianity se utiliza para asegurarse de que $v_{\mathfrak{p}}(f) = 0$, excepto para un número finito de números primos $\mathfrak{p}$), por ejemplo, Krull dominios y Prufer dominios. El último es un dominio en el que cada finitely generado distinto de cero ideal es invertible. Ambos son naturales y diversas clases de anillos.
Para más detalles sobre este material, véase, por ejemplo, el (más bien áspero e incompleta) notas
http://www.math.uga.edu/~pete/classgroup.pdf
[Anexo: véase también el capítulo 11 de http://math.uga.edu/~pete/factorization2010.pdf.]
Para mucha más información, véanse las referencias citadas en el mismo, especialmente Larsen y McCarthy Multiplicativo Ideal de la Teoría.
martinatime
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Pensé que bien podría copiar mis comentarios en una respuesta.
Si nuestros ideales no tienen una única factorización en primos, entonces la asociatividad falla o invertibility falla. Hay un no-noetherian generalización de un dominio de dedekind, es decir, todos finitely generado ideales tienen una única factorización en primos ideales. Entonces podríamos tomar las fracciones de los ideales de la finitely generado, pero esto es bastante inútil generalización en mi opinión. Yo pondría mi apuesta en la que no hay ningún trivial generalización.
A menos que usted está en un dominio de dedekind, no hay ninguna razón para creer que los números primos tienen interesantes propiedades con respecto a la factorización, por lo que el libre abelian grupo de los números primos, realmente no ayuda.
