Estamos buscando una raíz de
$$f(w) = \sum_{i=1}^{n}\frac{(K_i-1)z_i}{1+(K_i-1)w}.$$
En aras de la brevedad, ponemos a $A_i=\frac{1}{K_i-1}$ y asumen $A_1<\ldots<A_n$.
$$f(w) = \sum_{i=1}^{n}\frac{z_i}{A_i+w}$$
cambia de signo en cada $w_i=-A_i$$\lim_{w\to\infty}f(w)=0$, por lo que tiene una raíz (y sólo uno) en cada intervalo de $(-A_{j+1},-A_j)$. Por otra parte, las raíces de $f(w)$ son los mismos de las raíces de la $(n-1)$-ésimo polinomio de grado
$$p(w) = \sum_{i=1}^{n}z_i\prod_{k\neq i}(w+A_k), $$
por lo que podemos encontrar nuestra $w$ buscando la única raíz de $p(w)$$(-A_{j+1},-A_j)$. Muchos de los métodos de cálculo de realizar esta tarea: interseccion, Newton, secantes o una combinación adecuada de estas.
La actualización. Puesto que el $A_i$s sólo puede ser positivo o menos de $-1$, vamos a $I^{+}$ el conjunto de $i$ tal que $A_i>0$ $I^{-}$ el conjunto de $i$ tal que $A_i<0$. Por otra parte, vamos a $a=-\frac{1}{K_{max}-1}<0$$b=\frac{1}{1-K_{min}}>1$. Estamos buscando la única solución en $(a,b)$ de los:
$$L(x)=-\sum_{i\in I^{-}}\frac{z_i}{x+A_i}=\sum_{i\in I^+}\frac{z_i}{x+A_i}=R(x),$$
donde $L(x)$ es un convexo función creciente y $R(x)$ es un convexo de la disminución de la función en $(a,b)$. Podemos realizar un par de interseccion pasos para asegurarse de que $R(x)$ $L(x)$ se intersectan convexo, monótona y acotada de funciones de más de $[c,d]\subset(a,b)$. El problema (*) ahora es encontrar el punto de intersección entre la gráfica de dos delimitadas las funciones convexas, con frente monotonía,$[c,d]$. Para este tipo de problema, se puede ajustar la secante tangente método con el fin de garantizar la convergencia rápida, debido a los siguientes geométrica simple hecho:
![Intersecting the graphics of two convex bounded function with opposite monotonicity]()
El punto de intersección $P=(p_x,p_y)$ pertenecen a la parte interior del triángulo que tiene dos tangente y una secante de $R(x)$ como laterales. Lo mismo vale para los $L(x)$, de modo que por la intersección de la $L(x)$-secante con la $R(x)$-tangente en $d$, y el $R(x)$-secante con la $L(x)$-tangente en $d$, podemos encontrar un sub-intervalo de $[c',d']\subset[c,d]$ que $p_x\in[c',d']$. Por otra parte, uno entre el $c'$ $d'$ puede ser reemplazado con el eje de abscisas de la intersección entre la $L(x)$-la secante y el $R(x)$-secante, como claramente se ve arriba.
(Otras opciones son el eje de abscisas de la intersección de las tangentes en a $c$ o en $d\ldots$)
Para evitar la primera interseccion pasos, podemos multiplicar ambos $R(x)$ $L(x)$ $(x-a)(x-b)$ con el fin de eliminar las singularidades en los extremos. La convexidad se conserva, la monotonía puede ser que no, pero el punto de intersección todavía es único, y una buena aproximación para la que parece ser la intersección de la $L(x)(x-a)(x-b)$-tangente en $b$ $R(x)(x-a)(x-b)$- tangente en $a$. Desde:
$$L(x)(x-a)(x-b)= -\sum_{i\in I^-,\,A_i\neq -b}\frac{z_i(x-b)(x-a)}{x+A_i}-z_b(x-a),$$
$$R(x)(x-a)(x-b)= \sum_{i\in I^+,\,A_i\neq -a}\frac{z_i(x-b)(x-a)}{x+A_i}+z_a(x-b),$$
La aproximación de esta manera es la solución de
$$z_b+(x-b)\sum_{i\in I^-,\,A_i\neq -b}\frac{z_i}{b+A_i}=z_a+(x-a)\sum_{i\in I^+,\,A_i\neq -a}\frac{z_i}{a+A_i},$$
es decir,
$$\tilde{w}=\frac{(z_a-z_b)+\sum_{i\in I^-,\,A_i\neq -b}\frac{b\,z_i}{b+A_i}-\sum_{i\in I^+,\,A_i\neq -a}\frac{a\,z_i}{a+A_i}}{\sum_{i\in I^-,\,A_i\neq -b}\frac{z_i}{b+A_i}-\sum_{i\in I^+,\,A_i\neq -a}\frac{z_i}{a+A_i}}.$$
Ahora si $R(\tilde{w})-L(\tilde{w})$ es positivo reemplazamos $[a,b]$$[\tilde{w},b]$, de lo contrario, reemplace $[a,b]$ $[a,\tilde{w}]$ e iterar el argumento. Después de dos pasos, tanto en los extremos de la original intervalo son reemplazados, por lo que no tenemos necesidad de "normalizar" $L(x)$ $R(x)$ más, estamos de vuelta a (*) y las fórmulas, si queremos, volver a ser de buen aspecto y simple.
Otra idea es aproximar $L(x)$ $R(x)$ (o sus regularización de la versión) con homographic funciones (Padé approximants) con un 3-puntos de $\left(c,d,\frac{c+d}{2}\right)$ (con respecto a los cuatro parámetros), luego resuelve $\tilde{L}(x)=\tilde{R}(x)$. Esto puede o no puede tener problemas de estabilidad, tengo que investigar más.
Otro hecho importante que creo explotable es que $L(x)$ $R(x)$ son mucho más que convexos en $(a,b)$. $L(x)$ es una analítica de la función con los no-negativos derivados de cualquier orden, $R(x)$ es una analítica de la función con los no-negativos derivados de su pedido y no positivos derivados de la extraña orden de más de $(a,b)$. Lo mismo vale para los $1/R(x)$$1/L(x)$, que también son no-negativos y delimitado en $[a,b]$. La intersección de las tangentes en los extremos da la aproximación:
$$\tilde{w} = \frac{R(a)L(b)(R(a)-L(b))+(bL'(b)R^2(a)-aR'(a)L^2(b))}{R^2(a)L'(b)-L^2(b)R'(a)}.$$
Esta es una vieja idea, tuvo desde simultánea raíces algoritmos de aproximación, pero puede ser realmente eficaz. Componer $f$ lineal mapa tal que $[a,b]=[-1,1]$. Considerar el mapa de $h$ que envía a$z$$\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)$. Para cualquier $r>0$, $h^{(n)}(r)$ converge muy rápido a $1$, y para cualquier $r<0$, $h^{(n)}(r)$ converge muy rápido a $-1$. Por otra parte, $h$ es fácil invertir. Así, al componer con $h$ o de su función inversa, tenemos la opción de "condensado" de las singularidades de $f,L,R$ cerca de los extremos de $[-1,1]$ o "empujar lejos". En ambos casos, es muy probable que tenga la posibilidad de proporcionar extremadamente estrechos límites de $L(x)$$R(x)$, por lo que para $\tilde{w}$.
