Suma de una serie infinita.

Question

He encontrado una serie cuya $n$ -se denomina $\dfrac{n}{a^n}$ . Aquí $a$ es una constante. He intentado encontrar la suma pero no lo he conseguido. ¿Hay alguna fórmula para su suma infinita o sólo una aproximación?

Answer 1

En efecto, el límite puede calcularse explícitamente. Consideremos para $|x| < 1$ la función $$f(x) = \sum \limits_{n = 0}^\infty x^n = \frac{1}{1 - x}$$ Diferenciando la serie a lo largo de los términos y multiplicando por $x$ produce $$\frac{x}{(1 - x)^2} = xf'(x) = \sum \limits_{n = 1}^\infty nx^n$$ Ahora sólo tienes que conectar $x = \frac{1}{a}$ . Obsérvese que la serie diverge obviamente para $|x| \ge 1$ .

Answer 2

Sea $$S(x)=\sum_{i=0}^{N-1} x^n,$$ que es igual a $$\frac{x^N-1}{x-1}$$ para cualquier $x\ne1$ .

Entonces derivando término a término y multiplicando por $x$ ,

$$xS'(x)=\sum_{n=0}^{N-1} nx^n=x\frac{Nx^{N-1}(x-1)-(x^N-1)}{(x-1)^2}=x^N\frac{(N-1)x-N}{(x-1)^2}+\frac x{(x-1)^2}.$$

En $|x|<1$ el primer término desaparece para $N\to\infty$ .

Answer 3

Nota, tenemos $$T_n=\frac{n}{a^n}$$ $$S_n=\sum_{n=1}^{n} T_n=\sum_{n=1}^{n}\frac{n}{a^n}$$ $$S_n=\frac{1}{a}+\frac{2}{a^2}+\frac{3}{a^3}+\frac{4}{a^4}+\ldots +\frac{n}{a^n}\tag 1$$ Multiplicar por $\frac{1}{a}$ & reescribiendo como sigue
$$\frac{1}{a}S_n= \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{a^2}+\frac{2}{a^3}+\frac{3}{a^4}+\frac{4}{a^5}+\ldots +\frac{n-1}{a^{n}}+\frac{n}{a^{n+1}}\tag 2$$ Ahora, restando los términos correspondientes de (2) de (1) columna a columna, obtenemos $$S_n-\frac{1}{a}S_n=\underbrace{\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^3}+\ldots+\frac{1}{a^n}}_{\text{n-terms in G.P.}}-\frac{n}{a^{n+1}}$$ $$\left(\frac{a-1}{a}\right)S_n=\frac{\frac{1}{a}\left(\frac{1}{a^n}-1\right)}{\frac{1}{a}-1}-\frac{n}{a^{n+1}}$$

$$S_n=\left(\frac{a}{a-1}\right)\left\{\frac{a^n-1}{a^n(a-1)}-\frac{n}{a^{n+1}}\right\}$$ Por lo tanto, tomando el límite como $n\to \infty$ la suma de infinitos términos $S_{\infty}$ es la siguiente $$S_{\infty}=\lim_{n\to \infty}S_n$$ $$=\lim_{n\to \infty}\left(\frac{a}{a-1}\right)\left\{\frac{a^n-1}{a^n(a-1)}-\frac{n}{a^{n+1}}\right\}$$ $$=\left(\frac{a}{a-1}\right)\lim_{n\to \infty}\left\{\frac{a^n-1}{a^n(a-1)}-\frac{n}{a^{n+1}}\right\}$$ $$S_{\infty}=\frac{1}{(a-1)^2}\lim_{n\to \infty}\left\{\frac{a^{n+1}-n(a-1)-a}{a^n}\right\}$$ Es obvio que la serie conversa por $|a|\leq 1$ de lo contrario diverge