Deje $x$ ser un conjunto. ¿Existe una relación funcional $f:\omega\to \bf{V}$ que tiene la siguiente propiedad? \begin{eqnarray*} f(0)&=&x\\ f(1)&=&S(x)=x\cup\{x\},\\ f(2)&=&S^2(x)=S(S(x)),\\ &\vdots& \end{eqnarray*} ($\bf{V}$ es la clase de todos los conjuntos, y $S(-)$ es el sucesor de la operación.)
Si $x$ es un elemento de un conjunto que es cerrado bajo el sucesor de la operación, tal vez uno podría utilizar el teorema de recursión, pero lo que si no es el caso?
He aquí una manera de probar que la función existe. En primer lugar, demostrar por inducción sobre $\omega$ que para cada una de las $n<\omega$, la función restringida a $n$ existe (llamar a esta función $f\upharpoonleft n$). Podemos hacer un mapa de cada una de las $n$$f\upharpoonleft n$. Así que, por sustitución, allí tiene que ser un conjunto $\{f\upharpoonleft n: n<\omega\}$. A continuación, $\cup\{f\upharpoonleft n: n<\omega\}$ será la función requerida.
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