Estaba leyendo este breve artículo (no sé si estoy autorizado a publicar los enlaces, si no pido disculpas) sobre el hecho de que $\prod_{i=1}^{\infty} \mathbb{Z}$ no tiene ningún fundamento y no es un grupo libre. El problema es que justo antes de la final del artículo. Cuando dice que la última ecuación tiene soluciones para $n=n_1,n_2, \dots$, él no debería parar en $n_i$? Entonces, ¿cómo puede concluir usando el lema, si sólo tenemos un número finito de números enteros que permiten una solución? (que es exactamente lo que el lema está diciendo, así que no debería tener un absurdo). Probablemente me estoy haciendo algo mal, pero no puedo averiguar dónde está mi error. Gracias por la ayuda.
Respuestas
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Deje $y=(n_1,n_2,\ldots)$$\frac{n_{i+1}}{n_i}\in\mathbb{Z}\setminus\{\pm 1\}$. Deje $i\geq 1$. Para obtener una solución para $\overline{y} = n_i\cdot x \in G/H$, podemos utilizar la ecuación de $y\equiv (\underbrace{0,\ldots,0}_{i\text{ entries}},n_{i+1},n_{i+2},\ldots)\mod H$. (Tenga en cuenta que $\bigoplus_{i=1}^\infty\mathbb{Z}\subset H$) pondremos $$x' =\Big(\underbrace{0,\ldots,0}_{i\text{ entries}},\frac{n_{i+1}}{n_i},\frac{n_{i+2}}{n_i},\ldots\Big)\mod H$$ Por definición de $y$, las fracciones en $x'$ son todos los números enteros, es decir,$x'\in G$. Así, mediante el establecimiento $x = \overline{x'}$, la ecuación de $\overline{y}=n_i\cdot x\in G/H$ está satisfecho. Esta construcción puede ser hecho por todos los $i$.
Dick Kusleika
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La prueba de necesidades infinitamente muchos enteros, y los tenemos: es decir, todas las $n_i$. Para obtener una solución para $ y =n_i \cdot x$ $y$ como se ha construido allí. Podemos hacer esto para todas las $i$, lo $ y = nx $ tiene una solución para todas las $n = n_i$, y esto da una contradicción desde el final de la lema.
