Edit: creo que la primera respuesta de abajo es más eficiente y más fácil de escribir. Sin embargo, he añadido un enfoque más concreto que podría estar más cerca de lo que fueron después.
Por algún tipo de transitividad: recordar que cada abierto o cerrado subconjunto de un grupo localmente compacto espacio es localmente compacto espacio con la topología inducida por. Se utilizan ambas, abiertos y cerrados.
Considero que todos tenemos espacio equipado con la topología inducida por la norma Euclídea de $\mathbb{C}^{n\times n}$. Por lo tanto cada espacio Hausdorff. Es bueno que se sepa, a pesar de que su pregunta no se pregunta específicamente sobre este aspecto.
Como cada finito-dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, $\mathbb{C}^{n\times n}$ es localmente compacto cuando está equipado con la topología inducida por ninguna norma.
Claramente, $\mathcal{H}_n^+\mathbb{C}$, el conjunto de positivo semidefinite matrices, se cierra en el localmente compacto $\mathbb{C}^{n\times n}$. Por lo $\mathcal{H}_n^+\mathbb{C}$ es localmente compacto espacio.
Ahora $\mathcal{P}=\{A\in \mathcal{H}_n^+\mathbb{C}\;;\det A>0\}$. Por la continuidad de la determinante, se deduce que el $\mathcal P$ está abierto en el localmente compacto $\mathcal{H}_n^+\mathbb{C}$. Por lo tanto $\mathcal P$ es localmente compacto espacio. QED.
Parametrizadas alternativa: fix $A_0$ hermitian definido positivo, y denotan $\{t^0_1,\ldots,t_n^0\}$ (positiva) autovalores. Ahora vamos a $\epsilon:=\min t_j^0/2>0$. Después denotar $U_n$ el grupo unitario y $\mathcal{H}_n^{++}$ el cono de positivo definte hermitian matrices. Ahora, considere el mapa
$$
\phi:U_n\times \prod_{j=1}^n[t_j^0-\epsilon,t_j^0+\epsilon]\longrightarrow \mathcal{H}_n^{++}
$$
que envía a $(U,t_1,\ldots,t_n)$$U\mbox{diagonal}\{t_1,\ldots,t_n\}U^*$. Desde $U_n$ es compacto, el dominio es compacto. Y desde $\phi$ es continuo, el rango de $\phi$ es un subconjunto compacto de $\mathcal{H}_n^{++}$ contiene $A_0$. Así que sólo queda comprobar que este es un barrio de $A_0$$\mathcal{H}_n^{++}$. A tal fin, tenga en cuenta que contiene
$$
\phi(U_n\times \prod_{j=1}^n(t_j^0-\epsilon,t_j^0+\epsilon))\ni A_0
$$
es decir, el conjunto de hermitian definido positivo de las matrices con el espectro, $\{t_1,\ldots,t_n\}$ de manera tal que, hasta una permutación, $|t_j-t_j^0|<\epsilon$ por cada $j=1,\ldots,n$. Por la continuidad del polinomio raíces de más de $\mathbb{C}$ aplicado al polinomio característico, esto está abierto en $\mathcal{H}_n^{++}$. QED.
