Cauchy del Teorema de los Residuos

Question

Necesito a evaluar $\int_C \frac{5z-2}{z(z-1)}dz$ donde $C$ es el círculo de $|z|$=2. He utilizado parcial fracción de descomposición para obtener $$\frac{5z-2}{z(z-1)}=\frac{2}{z}+\frac{3}{z-1}$$ I have the answer ($10\pi i$) in my book but I don't fully understand how to get it. I think I have to evaluate in the two domains $0<|z|<1$ and $0<|z-1|<1$, is it because the singularities are at $z=0$ and $z=1$? I ask mainly because of the $|z-1|$ en la segunda desigualdad.

Answer 1

Yo no creo que usted necesita el Teorema de los Residuos, pero sólo de Cauchy de la integral de la fórmula? Tenga en cuenta que $$\dfrac{5z - 2}{z(z-1)} = \frac{3}{z-1} + \frac{2}{z}$$ and so $$\int_{C} \frac{5z-2}{z(z-1)}dz = \int_{C}\frac{3}{z-1} dz + \int_{C}\frac{2}{z} dz = 2\pi i f_1(1) + 2\pi i f_2(0)$$ where $f_1(z) = 3$ and $f_2(z) = 2$, so $2\pi i f_1(1) + 2\pi i f_2(0) = 2\pi i \cdot 3 + 2\pi i \cdot 2 = 10 \pi i$.

Sin embargo, también se puede utilizar el teorema de los residuos. Tenga en cuenta que $\frac{3}{z-1}$ es ya una Laurent serie ampliada acerca de la $z = 1$ al $0 < |z-1| < 1$ $\frac{2}{z}$ es una, como bien ha expandido cerca de $z = 0$ al $0 < |z| < 1$. Por lo tanto, $$\dfrac{5z - 2}{z(z-1)} = \frac{3}{z-1} + \frac{2}{z}$$ and so $$\int_{C} \frac{5z-2}{z(z-1)}dz = \int_{C}\frac{3}{z-1} dz + \int_{C}\frac{2}{z} dz = 2\pi i \mbox{Res}\left(\frac{3}{z-1}\right) + 2\pi i\mbox{Res}\left(\frac{2}{z}\right)$$ donde $$\mbox{Res}\left(\frac{3}{z-1}\right) = 3 \quad \mbox{and} \quad \mbox{Res}\left(\frac{2}{z}\right) = 2$$ así que de nuevo consigue $10 \pi i$.

La elección de los dominios es debido a $0 < |z| < 1$ $0 < |z-1| < 1$ es donde la función de $(5z-2)/(z(z-1))$ es analítica y así justifica los residuos. Es decir, $2/z$ es ya una Laurent de la serie al $0 < |z| < 1$ $\mbox{Res}(2/z) = 2$ $3/(z-1)$ es ya una Laurent de la serie al$0 < |z-1| < 1$$\mbox{Res}(3/(z-1)) = 3$.

Answer 2

Para un simple poste de $z_0$ de una función de $f(z)$, un residuo en la que el polo es

$$\lim_{z \rightarrow z_0} [(z-z_0) f(z)]$$

Usted no necesita hacer fracciones parciales para evaluar la suma de los residuos. Para un simple poste, usted puede ignorar efectivamente la pieza que está soplando. Por su ejemplo, el residuo de a $z=0$ es

$$\frac{5 \cdot 0 -2}{0-1} = 2$$

y el residuo en $z=1$ es

$$\frac{5 \cdot 1 -2}{1} = 3$$

La suma de los residuos, a continuación,$5$. Tenga en cuenta que estas están dentro de $C$, por lo que la suma total contribuye a la integral.

Answer 3

Sugerencias:

De acuerdo a la Fórmula de Cauchy, para una buena función (y su función es agradable...¿por qué?) tenemos

$$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz$$

Así que toma dos pequeños círculos: uno ($\,C_0\,$) alrededor de $\,z=0\,$ y el otro ($\,C_1\,$) alrededor de $\,z=1\,$ , y unirse a $\,|z|=2\,$ con ellos por las rectas (¿cómo?), así:

$$\int\limits_{C_1}\frac{\frac{5z-2}{z-1}}{z}dz=\left.2\pi i\left(\frac{5z-2}{z-1}\right)\right|_{z=0}=4\pi i$$

$$\int\limits_{C_1}\frac{\frac{5z-2}{z}}{z-1}dz=\left.2\pi i\left(\frac{5z-2}{z}\right)\right|_{z=1}=6\pi i$$

Agregar la de arriba (la justificación?) y conseguir, de hecho, $\,10\pi i$