Por favor, probar la siguiente: Dado $ƒ(x) = e^x$, compruebe que $\lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h} – e^x}{h} = e^x$.

Question

Dado $ƒ(x) = e^x$, compruebe que $$\lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h} – e^x}{h} = e^x$$ and explain how this illustrates that $f'(x) = \ln e \cdot f(x) = f(x)$.

Answer 1

Una adecuada respuesta a esta pregunta es totalmente dependiente de la correcta definición de símbolo $e^{x}$. Y más allá de la definición adecuada de la $e^{x}$ no puede ser dado por la definición de $e$.

Una definición de $e^{x}$ está dado por $$e^{x} = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}\tag{1}$$ Although it is normally self-evident because of the symbol $n$, I want to emphasize that the $n$ in the above definition is a positive integer. Based on this definition it can be proven that $$e^{x + y} = e^{x}\cdot e^{y}\tag{2}$$ and $$\lim_{x \to 0}\frac{e^{x} - 1}{x} = 1\tag{3}$$ Both the equations $(2)$ and $(3)$ are proved in this answer based on definition $(1)$. Using these equations $(2), (3)$ it is easy to prove that $$\frac{d}{dx}\,e^{x} = e^{x}\tag{4}$$ Second part of the question requires us to define the symbol $\ln$ (or $\log$ properly). One such definition is that if $e^{y} = x$ then $y = \ln x$ and then $\ln e = 1$ y se soluciona de esta forma la segunda parte de su pregunta.

Answer 2

Recordemos que todo lo que tenemos que mostrar es que el $\lim_{h\to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$. Las únicas cosas que necesitamos en este caso son la definición de $e$$e^h = \lim_{n\to \infty}\left ( 1 + \frac{h}{n} \right )^n$, y el teorema del binomio. Observar que

\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0} \frac{e^h -1}{h} & = & \lim_{h\to 0} \lim_{n\to \infty} \frac{1}{h} \left ( 1 + \frac{h}{n} \right )^n - \frac{1}{h} \\ & = & \lim_{h\to 0}\lim_{n\to \infty} \frac{1}{h} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\left ( \frac{h}{n}\right )^k - \frac{1}{h}. \end{eqnarray*}

Si nos factor $\frac{1}{h}$ a partir de dos términos, vemos que podemos comenzar simplemente la sumatoria de los $k=1$ plazo, por lo tanto tenemos

\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0} \frac{e^h-1}{h} & = & \lim_{h\to 0} \lim_{n\to \infty} \frac{1}{h} \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \left ( \frac{h}{n} \right )^k \\ & = & \lim_{h\to0} \lim_{n\to \infty}\frac{1}{h} \left (n \frac{h}{n} + \frac{n(n-1)}{2}\frac{h^2}{n^2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\frac{h^3}{n^3} + \ldots + \frac{h^n}{n^n} \right ) \\ & = & \lim_{h\to 0} \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \binom{n}{2}\frac{h}{n} + \binom{n}{3} \frac{h^2}{n^3} + \ldots + \frac{h^{n-1}}{n^n} \right ). \end{eqnarray*}

No importa la forma de la serie está en el límite tendremos que hay términos en diversas facultades de $h$, que en el límite de $h\to 0$ todos desaparecen. El único término que queda es el valor de $1$ al principio de la suma.

Answer 3

El uso de reglas de exponenciales,

$$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^xe^h-e^x}{h}$$ $$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h} = e^x \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^h-1}{h}$$

Este tiene un límite de $1$ (aunque no estoy seguro de cómo mostrar esta sin usar L'Hospital de la regla. Por lo tanto,

$$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h} = e^x$$