Surcomplex números y el más grande de algebraicamente cerrado de campo

Question

Es bien sabido que el surrealista números de $\mathbf{No}$ son los que más ordenada "de campo" (más exactamente, forman una clase adecuada con la estructura del campo, que a veces se llama un Campo con capital F), en el sentido de que todos los otros ordenó campo puede ser incrustado en ellas. Desde el surrealista números son reales cerrados, su expresión algebraica de cierre está dado por $\mathbf{No}[i]$, el surcomplex números.

Mi pregunta es, hay una similar caracterización de la surcomplex números como el más grande algebraicamente cerrado Campo de característica cero? Si no el más grande, es posible encontrar una clase adecuada con esa propiedad?

Answer 1

Deje $F$ ser un algebraicamente cerrado campo de característica cero.

Deje $\kappa$ ser el cardinal de un transcendance base de $F$ sobre su primer subcampo $\mathbb{Q}$.

Desde el ${\omega_0}^{{\omega_0}^{\alpha}}$, $\alpha < \kappa$ satisfacer la relación $\forall \alpha < \beta < \kappa, \forall n \in \mathbb{N}, n.({\omega_0}^{{\omega_0}^{\alpha}})^n < {\omega_0}^{{\omega_0}^{\beta}}$, forman un algebraicamente independiente de familia sobre $\mathbb{Q} \subset No$.

Por lo $No[i]$, siendo algebraicamente cerrado, contiene una isomorfo copia de $F$ como la relación algebraica cierre de $\mathbb{Q}(({\omega_0}^{{\omega_0}^{\alpha}})_{\alpha < \kappa})$.

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Esto también es cierto en NBG con global elección si $F$ es algebraicamente cerrado Campo de característica cero, y a ver uno sólo tiene que repetir el mismo argumento con $Ord$ en lugar de $\kappa$.

Tenga en cuenta que al ser un universal algebraicamente cerrado Campo de característica cero caracterises $No[i]$ como un campo mientras que ser un universal real Campo cerrado no se caracterizan $No$. La teoría de la algebraicamente cerrado campos de una característica dada de hecho es más estable que el de real de campos cerrados.