Algo bien orderedness.

Question

Este no es el caso que $\mathbb{Z}$ es bien ordenado (en el orden usual). Sin embargo, se observa que la

1. Todos los no-vacío es subconjunto de a $\mathbb{Z}$ que está delimitado por debajo tiene al menos un elemento, y
2. Todos los no-vacío es subconjunto de a $\mathbb{Z}$ que está delimitado por debajo hereda un buen orden.

Mi pregunta es, es el caso que para todos los conjuntos parcialmente ordenados, las condiciones anteriores son equivalentes? Y si es así, ¿esta propiedad tiene un nombre?

Answer 1

Deje $\langle X,\le\rangle$ ser un conjunto con un pre-order. Si los hay de distintos $x,y\in X$ tal que $x\le y$$y\le x$, $\{x,y\}$ está delimitado por debajo y tampoco tiene al menos un elemento ni hereda un bien de orden, por lo que puede muy bien suponer que los $\le$ es un orden parcial. (Usted también desea restringir el mismo a no vacía de subconjuntos que están delimitadas por debajo, como el conjunto vacío claramente no tiene la menos un elemento.)

Es inmediato que (2) implica (1), y es un sencillo (posiblemente transfinito) la inducción para demostrar que (1) implica (2).

Sin embargo, $\langle X,\le\rangle$ puede ser muy diferente de $\Bbb Z$. He aquí un ejemplo:

Deje $X=\Bbb N\times\{0,1\}$, y definir un estricto orden parcial $\prec$ $X$ como sigue: $\langle m,i\rangle\prec\langle n,k\rangle$ fib $m<n$$k=0$. Deje $A\subseteq X$ no puede ser vacío. Si $A\subseteq\Bbb N\times\{0\}$, $A$ tiene al menos un elemento y se hereda de un bien de orden. Supongamos, sin embargo, que el $A\cap(\Bbb N\times\{1\})\ne\varnothing$. Deje $m$ ser mínima tal que $\langle m,1\rangle\in A$. No es $\langle n,i\rangle\in X$ tal que $\langle n,i\rangle\prec\langle m,1\rangle$, lo $\langle m,1\rangle$ es el menor elemento de a $A$ o $A$ no está delimitado a continuación. Por lo tanto, cada (no vacío) de un subconjunto de a $X$ que está delimitado por debajo tiene al menos un elemento, y no hay infinito descendente cadenas, pero hay un montón de series que no se limita a continuación.

Answer 2

Si $P$ es un poset, las condiciones

1) cada no vacío acotado a continuación subconjunto de $P$ tiene al menos un elemento

2) cada no vacío acotado a continuación subconjunto de $P$, heredado la estructura de orden de $P$, está bien ordenado

son equivalentes. Que $2\implies 1$ es claro ya que si $S\subseteq P$ es nonepmty y acotada por debajo, entonces es un orden bien, lo que tiene por lo menos un elemento en el inducido, por lo tanto, la condición 1 se mantiene.

Para la dirección de la $1 \implies 2$: Vamos a $S\subseteq P$ ser no vacío y acotado a continuación. Para mostrar que está bien ordenado, necesitamos mostrar a cada subconjunto no vacío $T\subseteq S$ tiene al menos un elemento. Pero $T$ es claramente un delimitada a continuación, subconjunto no vacío de a $P$, y así, por la condición 1, tiene al menos un elemento. Puesto que el orden en $S$ es la inducida por el orden, por lo que el elemento es el menos deseado elemento que muestra $S$ está bien ordenado. (Este argumento no necesita de inducción transfinita/recursividad).

No sé de un nombre para esta condición.