Decir que tengo algunas no ortogonal base de algunas espacio vectorial que sólo tienen elementos de entero. Es posible encontrar una base ortogonal que consta de los vectores de la base con elementos de entero?
Respuesta
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Orthogonalization sin la normalización no generar vectores con componentes irracionales si la base original se compone de vectores con números enteros o racionales sólo los componentes. Multiplicando cada ortogonal de vectores con un adecuado número entero puede por lo tanto hacer la base se componen enteramente de los números enteros. El número mágico para un vector dado es, sencillamente, el mínimo común múltiplo de los denominadores de las del vector de componentes (escrito en las fracciones de la forma).
Por ejemplo, una base ortogonal del espacio de $[-3,0,2]$ $[3,5,0]$ podría ser dado por $[-57,0,38]$$[12,65,18]$.
Más formalmente, si $a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{Q}^m$ $k$ésimo vector de la base ortogonal generado por las bacterias Gram-Schmidt orthogonalization es $$ q_k=a_k-\sum_{j=1}^{k-1}\frac{\langle q_{j},a_k \rangle}{\langle q_{j},q_j\rangle}q_j, $$ donde $\langle\cdot,\cdot\rangle$ es la distancia Euclídea interior del producto. Puede utilizar la inducción para demostrar que la orthogonalization coeficientes son racionales y, por tanto, cada vector $q_k$ tiene la forma $q_k=[\frac{r_1}{s_1},\ldots,\frac{r_n}{s_n}]$ donde$r_i\in\mathbb{Z}$$s_i\in\mathbb{Z}^+$. Establecimiento $\tilde{q}_k=\mathrm{lcm}(s_1,\ldots,s_n)\times q_k$, a continuación, proporciona la base ortogonal $\tilde{q}_1,\ldots,\tilde{q}_k\in\mathbb{Z}^n$$\mathrm{span}(a_1,\ldots,a_n)$.
