¿Cómo se obtienen los estimadores como el de Horvitz-Thompson?

Question

El estimador de Horvitz-Thompson suele venir dado por:

$$ \hat{Y}_{HT} = \sum_{i=1}^n \pi_i ^{-1} Y_i $$

La prueba de que es imparcial es trivial. Además, existen otros estimadores para diferentes diseños, como los de Rubin y Rosenbaum (1983). Sin embargo, en cada uno de los artículos originales, el estimador parece aparecer de la nada sin ninguna motivación, sólo aparece para que el autor pueda demostrar que es insesgado.

Mi pregunta es, ¿existe una forma sólida de obtener estimadores insesgados como ese?

Answer 1

el estimador parecía aparecer de la nada sin ninguna motivación

Si la idea del muestreo estratificado es intuitiva, entonces creo que Horvitz-Thompson debería venir como una extensión natural, no es algo fuera de lo común.

Para ilustrar cómo una simple muestra estratificada puede ayudarle a elaborar la fórmula, considere un caso con dos estratos, $S_1$ y $S_2$ de tamaños conocidos $N_1$ y $N_2$ y supongamos que se obtienen muestras $n_1$ y $n_2$ respectivamente. Ahora imagina que calculas la media de cada muestra $\bar{y}_1$ y $\bar{y}_2$ .

¿Cómo utilizaría esta información para estimar el total de $Y$ ? La forma natural es tomar la media estimada de cada estrato y multiplicarla por el número total (de población) de elementos del estrato:

$$ \hat{Y} = N_1 \bar{y}_1 + N_2 \bar{y}_2 $$

Pero toma esta simple expresión y reescríbela como

$$ \begin{align} \hat{Y} &= N_1 \sum_{i \in S_1}\frac{y_i}{n_1} + N_2 \sum_{i \in S_2}\frac{y_i}{n_2}\\ &= \sum_{i \in S_1}\frac{y_i}{n_1/N_1} + \sum_{i \in S_2}\frac{y_i}{n_2/N_2}\\ &= \sum_{i} \frac{y_i}{\pi_i} \end{align} $$

Donde $\pi_i = n_1/N_1$ si $i\in S_1$ y $\pi_i = n_2/N_2$ si $i\in S_2$ . Es decir, un simple muestreo estratificado ya te da a entender que, en esencia, lo que estamos haciendo es sumar cada muestra $y_i$ ponderado por su probabilidad de selección. Entonces, la idea de una ponderación general de la probabilidad inversa, donde cada $\pi_i$ podría ser diferente, debería ser natural.

Answer 2

Me gustaría dar un enfoque diferente a la respuesta aceptada. La respuesta aceptada justifica la intuición detrás de la ponderación de la probabilidad inversa, pero me gustaría justificar por qué tiene sentido llegar al estimador de Horvitz-Thompson en lugar de a algún otro estimador. Puede derivarse de dos propiedades:

1. El estimador es un combinación lineal de las respuestas a la encuesta. Esta propiedad es una ventaja porque nos permite calcular las expectativas (y las varianzas) sin tener en cuenta todas las muestras posibles, y en su lugar sólo tratar con las probabilidades (conjuntas) de selección de las unidades individuales.

2. El estimador es imparcialidad (como ya ha señalado). Esta es una buena propiedad porque hace que la estimación final sea más fácil de interpretar/explicar a otra persona.

El estimador de Horvitz-Thompson es el único estimador con estas dos propiedades. En mi opinión, la forma más intuitiva de abordarlo es:

1. Justifica las dos propiedades anteriores,

2. Utilice la propiedad 1 para definir la estructura del estimador ( $\sum w_i y_i$ ),

3. Utilice la propiedad 2 para demostrar que $w_i=\pi_i^{-1}$ y luego,

4. Demuestre que esto es único (por ejemplo, considere un $y_i$ valores)

Answer 3

En primer lugar, hay que tener en cuenta que el estimador Horvitz-Thompson (H-T) se utiliza tanto para $\textit{with or without replacement}$ diseños de muestreo aleatorio.

$\pi$ es la probabilidad de inclusión. El estimador H-T nos proporciona una estimación del total de la población.

Como ilustración sencilla, un estimador "similar" a Horvitz-Thompson puede derivarse como sigue:

Si dejamos que $\pi = \frac{n}{N}$ , donde $n$ es el tamaño de la muestra y $N$ es el tamaño de la población, y lo sustituimos en el estimador H-T, entonces, tras la simplificación, obtenemos que $\hat{Y} = N\frac{Y}{n} = N\bar{y}$ .

Demostrar que dicho estimador es insesgado es ahora una tarea sencilla.