Integrar el área de la sombra?

Question

Hoy me he encontrado un interesante artículo aquí. Se calcula (aproximadamente) de la zona de la sombra.

Me pregunto cuál es el valor exacto de la zona. Mi primer pensamiento fue el uso de las integrales, pero no parece ser fácil. Cómo calcular este uso de las integrales?

Lo único que sé es que $$S\approx 2.92$$

Answer 1

Hay, por supuesto, un enfoque mucho más fácil que no requiere ningún tipo de integrales de ningún tipo. Vamos a los puntos de intersección de los círculos ser$A$$B$, el centro del círculo pequeño ser $C=(1,1)$ y en el centro del gran círculo, es decir, el vértice inferior izquierdo de la plaza se $O=(0,0)$. (Vamos a escala de la zona a la zona original de la plaza; en este caso, vamos a multiplicar el resultado por $5$.)

El área sombreada $K$ es igual a $K = K_1-K_2 + 2 K_3$ donde $K_1$ es el área del sector $CAB$, $K_2$ es el área del sector de la $OAB$, e $K_3$ es el área del triángulo $\Delta OAC$. Tenemos que

$$K_1 = \frac12 \cdot 1^2 \cdot \theta$$ $$K_2 = \frac12 \cdot 2^2 \cdot \phi$$ $$K_3 = \sqrt{s (s-2)(s-1)(s-\sqrt{2})} $$

donde $\theta$ es el ángulo subtendido por el sector $CAB$, $\phi$ es el ángulo subtendido por el sector de la $OAB$, e $s$ es el semiperimeter de triángulo $\Delta OAC$. Debe quedar claro, entonces, que el $K_3 = \sqrt{7}/4$.

Sólo tenemos que encontrar los ángulos $\theta$$\phi$. Hacemos esto mediante la búsqueda de los puntos de intersección $A$ $B$ y la aplicación simple de la trigonometría. Los puntos de intersección se encuentran resolviendo las ecuaciones

$$(x-1)^2+(y-1)^2=1$$ $$x^2+y^2=4$$

El resultado es que el$A = \left (\frac{5-\sqrt{7}}{4},\frac{5+\sqrt{7}}{4} \right )$$B = \left (\frac{5+\sqrt{7}}{4},\frac{5-\sqrt{7}}{4} \right )$. (La simetría se espera.) Encontrar los ángulos es relativamente simple, siempre y cuando uno tenga el adecuado respeto por el rango de funciones trigonométricas inversas. El resultado es que

$$\theta = \frac{\pi}{2}+2 \arctan{\left (\frac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{7}+1} \right )} $$

$$\phi = \frac{\pi}{2}-2 \arctan{\left (\frac{5-\sqrt{7}}{5+\sqrt{7}} \right )} $$

El resultado final de la zona de entonces

$$K = 4 \arctan{\left (\frac{5-\sqrt{7}}{5+\sqrt{7}} \right )} + \arctan{\left (\frac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{7}+1} \right )} + \frac{\sqrt{7}}{2} - \frac{3 \pi}{4} $$

Para comparar con el OP de monte carlo resultado, que me llega de WA que $5 K \approx 2.927625 \dots$

ANEXO

En realidad, hay mucho más elegante y sencillo método de ataque. No necesitamos encontrar los puntos de $A$$B$. Más bien, acabamos de encontrar los ángulos $\theta$ $\phi$ a partir de la ley de los cosenos y senos, respectivamente, con $\Delta OAC$. Usando la ley de cosenos, me parece que $\cos{(\angle OCA)} = -1/(2 \sqrt{2})$, por lo que el $ \sin{(\angle OCA)} = \sqrt{7}/(2 \sqrt{2}) $. Por lo tanto, $\angle OCA = \pi - \arcsin{(\sqrt{7}/(2 \sqrt{2}))}$ y, por tanto,$\theta = 2 \arcsin{(\sqrt{7}/(2 \sqrt{2}))}$. Utilizando la ley de los senos, nos encontramos con que $\phi = 2 \arcsin{(\sqrt{7}/(4 \sqrt{2}))}$. Por lo tanto,

$$K = \arcsin{\left (\sqrt{\frac{7}{8}} \right )} - 4 \arcsin{\left (\frac12 \sqrt{\frac{7}{8}} \right )}+ \frac{\sqrt{7}}{2}$$

Esto produce exactamente el mismo resultado que la anterior, y mucho más elegante.

Answer 2

Integral no es evidente, porque la sombra es la superposición de sí misma vertical. La solución más fácil es rotar el círculo más pequeño $45^\circ$. Área de la sombra será la misma.

Voy a estar haciendo el cálculo en $1\times1$ la plaza y luego multiplicar el resultado por $20$.

Es bastante fácil porque la única cosa que debemos hacer es calcular la distancia $d$ entre el círculo más pequeño y el punto de $(0;0)$ y, a continuación, utilizar la función$f(x)=\sqrt{\frac14-x^2}+\frac12 + d$$g(x)=\sqrt{1-x^2}$, para calcular la integral.

$$d=\sqrt{2}*\frac12-\frac12$$

Calculamos la distancia como $f-r$ donde $f$ es una diagonal del cuadrado $\frac12\times\frac12$ $r$ es un radio del círculo más pequeño.

Así que tenemos $f(x)=\sqrt{\frac14-x^2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ahora la zona está dado por la fórmula:

$$S=\int\limits_{-a}^a f(x)-g(x)\,dx,\quad a>0$$

Donde $a$ $x$ coordenadas del punto de intersección de $f$$g$, para calcularlo necesitamos solfe la siguiente ecuación:

$$f(x)=g(x)$$ $$\sqrt{\frac14-x^2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{1-x^2}$$

Ponemos a $\frac14-x^2=t^2$:

$$t+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{t^2+\frac34}$$ $$t^2+\sqrt2t+\frac12=t^2+\frac34$$ $$t=\frac{1}{4\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{8}$$ $$x^2=\frac14-\frac{1}{32}=\frac{7}{32}$$ $$a=\sqrt\frac{7}{32}$$

Ahora, calculamos la integral de la $$I=\int \left(\sqrt{\frac14-x^2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{1-x^2}\right)\,dx$$ $$I=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\int \sqrt{\frac14-x^2}\,dx-\int\sqrt{1-x^2}\,dx$$

Tenemos dos integrales de tipo $\int \sqrt{c-x^2}\,dx=\int \frac{c-x^2}{\sqrt{c-x^2}}\,dx=(Ax+B)\sqrt{c-x^2}+\int\frac{Cdx}{\sqrt{c-x^2}}$ (el uso de Ostrogradski de la fórmula):

$$\frac{c-x^2}{\sqrt{c-x^2}}=A\sqrt{c-x^2}-(Ax+B)\frac{x}{\sqrt{c-x^2}}+\frac{C}{\sqrt{c-x^2}}$$

$$c-x^2=A(c-x^2)-(Ax^2+Bx)+C$$

Y obtenemos las siguientes ecuaciones:

$$\begin{cases} -1&=-A-A\quad&\implies A=\frac12\\ 0&=-B&\implies B=0\\ c&=Ac+C&\implies C=\frac12c \end{casos}$$

Así que ahora la sustitución de $x=\sqrt{c}\,t$, $dx=\sqrt{c}\,dt$:

$$\int \sqrt{c-x^2}\,dx=\frac12x\sqrt{c-x^2}+\frac12c\int\frac{\sqrt{c}\,dx}{\sqrt{c-ct^2}}$$

$$=\frac12x\sqrt{c-x^2}+\frac12c\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{c}}\right)$$

Usando esta fórmula, se obtiene:

$$\begin{cases} \int\sqrt{\frac14-x^2}\,dx&=\frac12x\sqrt{\frac14-x^2}+\frac18\arcsin(2x)\\ \int\sqrt{1-x^2}\,dx&=\frac12x\sqrt{1-x^2}+\frac12\arcsin(x) \end{casos}$$

Nuestra fórmula se ve ahora como la siguiente:

$$I=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac12x\sqrt{\frac14-x^2}+\frac18\arcsin(2x)-\frac12x\sqrt{1-x^2}-\frac12\arcsin(x)$$

$$S=\left[I\right]_{-\sqrt\frac{7}{32}}^\sqrt\frac{7}{32}$$ $$=\left(\frac{\sqrt7}{16}+\frac18\arcsin\left(2\sqrt\frac{7}{32}\right)-\frac12\arcsin\left(\sqrt\frac{7}{32}\right)\right)$$ $$-\left(-\frac{\sqrt7}{16}-\frac18\arcsin\left(2\sqrt\frac{7}{32}\right)+\frac12\arcsin\left(\sqrt\frac{7}{32}\right)\right)$$

$$=\frac{\sqrt7}{8}+\frac14\arcsin\left(2\sqrt\frac{7}{32}\right)-\arcsin\left(\sqrt\frac{7}{32}\right)$$

Nuestro resultado es igual a $S$ multiplicado por el $20$:

$$20S=\frac{5\sqrt7}{2}+5\arcsin\left(2\sqrt\frac{7}{32}\right)-20\arcsin\left(\sqrt\frac{7}{32}\right)\approx2.9276251906069$$