La probabilidad y la Expectativa de la Gente en Línea

Question

Un grupo de n personas, todos tienen distintas alturas. Ellos están esperando en una línea recta en el banco (una persona en la puerta de la otra), con todos los órdenes de la gente igualmente probables. Una persona puede ver con anticipación a la parte delantera de la línea, si son más altos que todos en frente de ellos.

• (a) ¿Cuál es la probabilidad de que la iª persona en la línea se puede ver a la parte delantera de la línea (donde la primera persona que está en la parte delantera de la línea, la segunda persona que está detrás de la primera, etc.)?
• (b) ¿Cuál es el número esperado de personas en línea que se puede ver a la parte delantera de la línea? (Sugerencia: la Linealidad de la expectativa.)

Hay n! formas de organizar esas personas en línea. Para la primera persona para ver en línea: nC1, luego de la iª persona que va a ser nCi?

No estoy seguro de cómo enfoque (b)? Cualquier sugerencia o consejo es útil!

Answer 1

Definir indicador de variables aleatorias $Y_1,Y_2,\dots, Y_n$ como sigue. Deje $Y_i=1$ si $i$-th persona puede ver todo el camino hasta la parte delantera de la línea, y deje $Y_i=0$ lo contrario. A continuación, $W=Y_1+\cdots+Y_n$ es el número de personas que puede ver todo el camino hasta la parte delantera de la línea. Queremos $E(Y_1+\cdots+Y_n)$, que por la linealidad de la expectativa es $E(Y_1)+\cdots+E(Y_n)$. Tenga en cuenta que el $Y_i$ son no independientes. Pero la linealidad de la expectativa se mantiene en todos los casos.

Tenemos $\Pr(Y_i=1)=\frac{1}{i}$. De entre los primeros a $i$ de la gente, el que está en la posición $k$ es igual de probable que sea el más alto en el grupo como cualquier otro. Así $$E(W)=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n},$$ el $n$-ésimo número armónico.