Integral $\int\csc^3{x} \ dx$

Question

He encontrado estos pasos que explican cómo integrar $\csc^3{x} \ dx$ . Lo entiendo todo, excepto el paso que destaco a continuación.

¿Cómo pasamos de: $$\int\frac{\csc^2 x - \csc x \cot x}{\csc x - \cot x}\,dx%$$ a $$\int \frac{d(-\cot x + \csc x)}{-\cot x + \csc x} \quad?$$

Gracias por su tiempo. $$ \int \csc^3 x\,dx = \int\csc^2x \csc x\,dx$$ Para integrar por partes, sea $dv = \csc^2x$ y $u=\csc x$ . Entonces $v=-\cot x$ y $du = -\cot x \csc x \,dx$ . Integrando por partes, tenemos: $$\begin{align*} \int\csc^2 x \csc x \,dx &= -\cot x \csc x - \int(-\cot x)(-\cot x\csc x\,dx)\\ &= -\cot x \csc x - \int \cot^2 x \csc x\,dx\\ &= -\cot x\csc x - \int(\csc^2x - 1)\csc x\,dx &\text{(since }\cot^2 x = \csc^2-1\text{)}\\ &= -\cot x \csc x - \int(\csc^3 x - \csc x)\,dx\\ &= -\cot x\csc x - \int\csc^3 x\,dx + \int \csc x\,dx \end{align*}$$ En $$\int \csc^3 x\,dx = -\cot x\csc x - \int\csc^3 x\,dx + \int \csc x\,dx$$ obtenemos $$\begin{align*} \int\csc^3x\,dx + \int\csc^3 x\,dx &= -\cot x \csc x + \int\csc x\,dx\\ 2\int\csc^3 x\,dx &= -\cot x\csc x + \int\csc x\,dx\\ \int\csc^3x\,dx &= -\frac{1}{2}\cot x\csc x + \frac{1}{2}\int\csc x\,dx\\ &=-\frac{1}{2}\cot x\csc x + \frac{1}{2}\int\frac{\csc x(\csc x - \cot x)}{\csc x - \cot x}\,dx\\ &= -\frac{1}{2}\cot x \csc x + \frac{1}{2}\int\frac{\csc^2 x - \csc x\cot x}{\csc x - \cot x}\,dx\\ &= -\frac{1}{2}\cot x \csc x + \frac{1}{2}\int\frac{d(-\cot x+\csc x)}{-\cot x +\csc x}\\ &= -\frac{1}{2}\cot x\csc x + \frac{1}{2}\ln|\csc x - \cot x|+ C \end{align*}$$

Answer 1

Vale, tu actual pregunta es sobre la integración $\csc x$ (el resto no importa).

Te parece bien $$\int \csc x\,dx = \int\frac{\csc x(\csc x -\cot x)}{\csc x - \cot x}\,dx = \int\frac{\csc^2 x - \csc x \cot x}{\csc x - \cot x}\,dx.$$

El siguiente paso es una sustitución básica. Sea $w = \csc x - \cot x$ . Entonces $dw = (-\csc x\cot x + \csc^2x) \,dx$ . Este resulta ser el numerador de la integral que tenemos, mientras que el denominador es $w$ . Así que $$\int\frac{\csc^2x - \csc x\cot x}{\csc x- \cot x}\,dx = \int\frac{dw}{w}.$$

Pero en lugar de hacer la sustitución explícitamente, escribieron que el numerador, $(\csc^2x - \csc x\cot x)\,dx$ era el diferencial del denominador, $\csc x - \cot x$ .

Answer 2

La cuestión parece ser por qué los siguientes son iguales:

$$(\csc^2 x - \csc x \cot x)\,dx = d(-\cot x + \csc x)$$

La respuesta es que $$ \frac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x\quad \text{ and }\quad\frac{d}{dx} \csc x = -\csc x \cot x. $$

La regla del cociente para derivadas puede establecer ambas identidades si sabes diferenciar el seno y el coseno y algunas identidades trigonométricas sencillas.

$$ \begin{align} \frac{d}{dx} \cot x & = \frac{d}{dx} \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{(\sin x)\frac{d}{dx}\cos x - (\cos x) \frac{d}{dx} \sin x}{\sin^2 x} \\ \\ \\ & = \frac{(\sin x)(-\sin x) - (\cos x)(\cos x)}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = \frac{-1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x. \end{align} $$

Y de forma similar,

$$ \frac{d}{dx} \csc x = \frac{d}{dx} \frac{1}{\sin x} = \frac{- \frac{d}{dx} \sin x}{\sin^2 x} = \frac{-\cos x}{\sin^2 x} = -\;\frac{1}{\sin x}\frac{\cos x}{\sin x} = -\csc x \cot x. $$

Answer 3

Alternativamente, puede integrar por partes de la siguiente manera $$I=\int \csc^3 x\ dx$$ $$I=\int \csc x\ \csc^2 x\ dx$$ $$I=\csc x\int \csc^2 x\ dx-\int (-\csc x\cot x) (-\cot x)\ dx$$ $$I=-\csc x\cot x-\int \csc x\cot^2 x\ dx$$ $$I=-\csc x\cot x-\int \csc x (\csc^2 x-1)\ dx$$ $$I=-\csc x\cot x-\int (\csc^3x -\csc x)\ dx$$ $$I=-\csc x\cot x-\int \csc^3 x\ dx+\int \csc x\ dx$$ $$I=-\csc x\cot x-I+\int \csc x\ dx$$ $$2I=-\csc x\cot x+\ln\left|\tan\frac x2\right|$$ $$I=-\frac12\csc x\cot x+\frac12\ln\left|\tan\frac x2\right|+c$$ $$\boxed{\color{blue}{\int \csc^3 x\ dx=-\frac12\csc x\cot x+\frac12\ln\left|\tan\frac x2\right|+c}}$$