Deje $f$ ser un polinomio con coeficientes reales y $A$ una matriz simétrica de a $n\times n$ con elementos en $\mathbb{R}$. Demostrar que $f(A)$ es simétrica

Question

Deje $f$ ser un polinomio con coeficientes reales y $A$ una matriz simétrica de a $n\times n$ con elementos en $\mathbb{R}$. Demostrar que $f(A)$ es simétrica. Supongamos $A$ es hermitian y que $f$ ha coeficientes complejos.

Es hermitian la matriz de $f(A)$?.

Hice esto:

Deje $f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+.......+a_n$, si a es simétrica, entonces cA es simétrica donde c $\in{}\mathbb{R}$ ,Un$^n$ es simétrica donde n es un número entero, finalmente, $f(A)=a_0A^n+a_1A^{n-1}+.......+a_n$ es simétrica

Si es Hermitian y n es un entero $A^n$ es simétrica pero por hipótesis n puede ser un número complejo, a continuación, $A^n$ no puede ser hermitian.

Alguna sugerencia?

Gracias por todo

Que tengan un buen día

Answer 1

Para la primera pregunta, observamos que el número entero positivo de las potencias de una matriz simétrica son simétricas: $(A^n)^t=(A\cdots A)^t=(A^t\cdots A^t)=(A\cdots A)=A^n$. Desde un escalar veces una matriz simétrica es claramente simétrica, entonces se sigue que para un polinomio $f$ con coeficientes reales, $f(A)$ será simétrico.

Imitando la misma prueba se puede ver que si $A$ es Hermitian y $f$ tiene coeficientes reales de la misma prueba en el caso.

Agregado: Si permites que los coeficientes complejos usted tiene un problema ya que si $z$ es un número complejo con un valor distinto de cero parte imaginaria y $A$ es Hermitian, a continuación, $zA$ no será Hermitian desde $(zA)^*=z^*A^*=z^*A$. Recuerde que la diagonal de un Hermitian matriz debe ser un valor real.

Answer 2

• $f(x)\in\mathbb R[x]$ $A\in Mat_{n\times n}(\mathbb R)$ es simétrica $\implies f(A)$ es simétrica.

Deje $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\in\mathbb R[x].$ $f(A)=a_0I+a_1A+a_2A^2+...+a_nA^n.$

$(f(A))^t=(a_0I+a_1A+a_2A^2+...+a_nA^n)^t$$=a_0(I)^t+a_1(A)^t+a_2(A^2)^t+...+a_n(A^n)^t$$=a_0I+a_1A+a_2A^2+...+a_nA^n=f(A).$ (Recordar: Para simétrica matriz $A,(A^n)^t=(A.A...A)^t=(A^tA^t...A^t)=A^n~\forall~n\in\mathbb Z^+$)

• Deje $f(x)\in\mathbb C[x]$ $A\in Mat_{n\times n}(\mathbb C)$ es hermitian. Es $f(A)$ hermitian?

Deje $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\in\mathbb C[x].$ $f(A)=a_0I+a_1A+a_2A^2+...+a_nA^n.$

${\overline{f(A)}}^{~t}={\overline{a_0I+a_1A+a_2A^2+...+a_nA^n}}^{~t}$$=\overline{a_0I}^{~t}+\overline{a_1A}^{~t}+\overline{a_2A^2}^{~t}+...+\overline{a_nA^n}^{~t}$$=\overline{a_0}I+\overline{a_1}A+\overline{a_2}A^2+...+\overline{a_n}A^n$ (Ya que para una matriz de hermitian $A,$ $\overline{A^n}^{~t}=\overline{A.A...A}^{~t}$$=\overline{A}^{~t}\overline{A}^{~t}...\overline{A}^{~t}=A^n$)

Es aquí donde comienza el problema ya que los coeficientes de vuelta en su correspondiente conjugado. Manteniendo esto en mente, vamos a intentar construir un contraejemplo.

Por CIERTO, si $f(x)\in\mathbb R[x],$ luego hermitianness no afectado por la transformación en $f$.

• Contraejemplo: Tome $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3i\\2&0&4\\-3i&4&2\end{pmatrix}$ $f(x)=ix.$