Cíclico subgrupos y generadores

Question

Lo siento por la publicación de una segunda pregunta sobre este tema, álgebra abstracta, es tomar un poco más de tiempo para conseguir mi cabeza alrededor.

Estoy tratando de averiguar si esto es cíclico o no, y encontrar todos los generadores o no muestran generador existe.

$\langle(12)(34)(56),(145)(236)\rangle \leq S_6$

Sólo en caso de que haya diferencias en la notación, que es sólo el subgrupo generado por los elementos de a$(12)(13)(56)$$(145)(236)$$S_6$. El problema es que mis notas solo muestra un ejemplo como este, pero ambos permutaciones fueron incluso, y fue en $S_4$ tan sólo demostró que se podría generar a $A_4$ (literalmente mostrando que usted podría hacer que cada permutación) el uso de los dos elementos. Dado que uno de los elementos aquí es impar, y estamos lidiando con $S_6$ no parece un buen método.

Hasta ahora, he notado que, dejando $\sigma = (12)(34)(56)$ $\tau = (145)(236)$ tenemos que $o(\sigma) = 2$ $o(\tau) = 3$

También, que $\sigma \tau = (135246) = \tau \sigma$, $(\sigma \tau)^2 = (\tau \sigma)^2 = (154)(326) = \tau^{-1}$

Por último que $(\sigma \tau)^3 = (\tau \sigma)^3 = (12)(34)(56) = \sigma = \sigma^{-1}$

Tengo un poco atascado en cuanto a dónde ir en este punto, aunque yo no ver cómo es posible incluso que esto es cíclico. Gracias de nuevo, este lugar ya ha sido una enorme ayuda!

Answer 1

La mayoría de observación importante es que el $\sigma$ $\tau$ conmutar; sin que usted podría nunca tener que generar un subgrupo cíclico. Pero una vez que se marca esta opción, usted sabe que generar un conmutativa subgrupo; puede omitir el resto de $S_6$ y aplicar la teoría de Abelian grupos. En un grupo Abelian, dos elementos $a,b$ con relativamente primer órdenes de $p,q$ siempre tienen la propiedad de que $ab$ orden $pq$: la relativa primalidad asegura que $\langle a\rangle\cap\langle b\rangle=\{e\}$, lo $(ab)^i=a^ib^i=e$ implica $a^i=e=b^i$, por lo tanto $\operatorname{lcm}(p,q)=pq\mid i$. En tu caso, tienes elementos $\sigma,\tau$ de relativamente primer órdenes de $2,3$, lo $\sigma\tau$ orden $6$ y genera $\langle\sigma,\tau\rangle$, que es cíclico.

El argumento de curso muestra que cada vez que en cualquier grupo de desplazamientos de los elementos de relativamente primer órdenes, que generan un grupo cíclico (usted puede incluso tener más de dos generadores para empezar, siempre que sus órdenes son pares relativamente primos; sólo recorrer el argumento).