Dejemos que $a$ sea un número real, quiero encontrar un equivalente simple (o si es posible, una expansión asintótica) de $$\sum_{k=1}^n k^a 2^k.$$ Creo que la suma es $\sim n^a 2^{n+1}$ (se han probado muchos valores de $a$ para grandes $n$ ). Es fácil demostrarlo si $a\in \mathbb{N}$ por recurrencia, pero no sé qué hacer si $n\notin \mathbb{N}$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Dejemos que $S_{n,a}=\sum_{k=1}^n k^a 2^k$
- Demuestre primero que $S_{n,a}=O(n^a 2^{n+1})$
Si $a\geq 0$ : $S_{n,a}\leq n^a\sum_{k=1}^n 2^k=n^a(2^{n+1}-2)\leq n^a 2^{n+1}$
Si $a<0$ , $S_{n,a}\leq \sum_{k=1}^{\lfloor n/2 \rfloor} k^a 2^k + \sum_{k=\lfloor n/2 \rfloor+1}^{n} k^a 2^k\leq 2^{\lfloor n/2 \rfloor+1}+(\lfloor n/2 \rfloor+1)^a2^{n+1}=O(n^a 2^{n+1})$
- Dejemos que $B_n= \sum_{k=1}^n2^k$ para $n\geq 1$ y $B_0=0$
Realización de la transformación de Abel, $$\begin{align}S_{n,a} &=(n+1)^aB_n + \sum_{k=0}^n(k^a-(k+1)^a)B_k\\ &= (n+1)^a(2^{n+1}-2) + \sum_{k=0}^n(k^a-(k+1)^a)(2^{k+1}-2)\end{align}$$
Por el teorema del valor medio, dependiendo del valor de $a$ obtenemos los siguientes límites: $$\left|\sum_{k=0}^n(k^a-(k+1)^a)(2^{k+1}-2)\right|\leq 2|a|\sum_{k=0}^n(k+1)^{a-1}2^{k}$$ $$\left|\sum_{k=0}^n(k^a-(k+1)^a)(2^{k+1}-2)\right|\leq 2|a|\sum_{k=0}^n k^{a-1}2^{k}$$
En ambos casos, $\sum_{k=0}^n(k^a-(k+1)^a)(2^{k+1}-2)=O(S_{n,a-1})=O(n^{a-1} 2^{n+1})$
Como resultado, $$S_{n,a} = n^a2^{n+1} +O(n^{a-1} 2^{n+1}) = n^a2^{n+1} + o(n^a2^{n+1})$$
La misma estimación asintótica es válida para las integrales, es esencialmente la misma prueba, excepto que es menos tediosa ya que la integración por partes es más fácil de realizar.
