Si $A$ es una matriz cuadrada de orden $n$ real con entradas y $A^3 + I =0$. A continuación, $\operatorname{trace}(A)$ es un número entero. Mi intento: Aquí $|A| = -1$. Y $\operatorname{trace}(A^3) = -n$. Entonces traté de dibujar una contradicción suponiendo que $\operatorname{trace}(A)$ no es un número entero (utilizando la definición de determinante). Pero en ninguna parte cerca de la solución.
Respuesta
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Sugerencia
A partir de la ecuación llegamos a la conclusión de que los autovalores ($k$) se ajuste a la ecuación:
$$k^3=-1$$
Por eso, $k=-1$ o $k=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$ son los candidatos para los autovalores.
1) sabemos que la traza es la suma de los autovalores.
2) también sabemos que una vez que tenemos una matriz si tenemos un número complejo como un autovalor entonces su conjugado también será un autovalor.
Se puede terminar?
