Permanente de generación de la función de identidad para $\exp{\mathbf{x^{T}}A\mathbf{y}}$

Question

En este documento, hay una identidad que no puedo demostrar a mi satisfacción, (hay una declaración similar en aquí) y es que, dada una permanente de una $(\mathbf{k,l})$-replica matriz $A$ (escrito $A^{(\mathbf{k,l})}$), $$\sum_{\mathbf{k,l}\geq 0}\mathrm{per}(A^{(\mathbf{k,l})})\frac{\mathbf{x}^{\mathbf{k}}\mathbf{y}^{\mathbf{l}}}{\mathbf{k}!\mathbf{l}!}=\exp{\mathbf{x^{T}}A\mathbf{y}}$$

Notación: $\mathbf{x^{k}}=\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{k_{i}}$, $\mathbf{k}!=\prod_{i=1}^{n}k_{i}!$, y $A^{(\mathbf{k,l})}$ es el bloque de la matriz con la entrada de $a_{i,j}$ repitió $k_{i}\times l_{j}$ veces.

Esto está relacionado con MacMahon Maestro del Teorema de donde $$ \sum_{\mathbf{k}\geq 0}\mathrm{por}(A^{(\mathbf{k,k})})\frac{\mathbf{x}^{\mathbf{k}}}{\mathbf{k}!}=\det (1-XA)^{-1} $$ con $X_{ij}=x_{i}\delta_{ij}$ $A=A^{(\mathbf{1,1})}$

Answer 1

Aquí está una doble contabilización argumento. El coeficiente de $\mathbf{x}^{\mathbf{k}}\mathbf{y}^{\mathbf{l}}$ en cualquiera de los lados puede ser escrito como $$\frac{1}{m!^2}\sum_{K,L,\pi} a_{K(1),L(\pi(1))}\dots a_{K(m),L(\pi(m))}$$ donde $m=\sum k_i=\sum l_j$, y la suma es sobre:

• $K:[m]\to [n]$ $|K^{-1}(\{i\})|=k_i$ por cada $i$
• $L:[m]\to [n]$ $|L^{-1}(\{j\})|=l_j$ por cada $j$
• permutaciones $\pi:[m]\to[m]$

A ver esto es igual para el lado izquierdo coeficiente, tenga en cuenta que la suma de $\pi$ fijos $(K,L)$$\mathrm{per}(A^{(\mathbf{k,l})})$; el $\sum_K$ da un factor de $m!/\mathbf k!$ y de igual manera el $\sum_L$ da un factor de $m!/\mathbf l!$. A ver esto es igual para el lado derecho coeficiente de reconocer la suma de $(K,L)$ fijos $\pi$ como el coeficiente de $\mathbf{x}^{\mathbf{k}}\mathbf{y}^{\mathbf{l}}$$(\sum_{i,j=1}^n a_{i,j}x_iy_j)^m$, $\sum_\pi$ dando un factor de $m!$.