La definición estándar de grupo de isomorfismo

Question

ProofWiki define un grupo de isomorfismo como un bijective homomorphism. En los Temas de Álgebra 2$\varepsilon$, Herstein define un grupo de isomorfismo como un inyectiva homomorphism:

Definición. Un homomorphism $\phi$ $G$ a $\bar{G}$ se dice que es un isomorfismo si $\phi$ es uno-a-uno.

Herstein no define un homomorphism a ser surjective, de modo que la definición en ProofWiki y la definición de los Temas de Álgebra 2$\varepsilon$ contradicen. La definición es estándar?

Answer 1

Sin duda una de las definiciones estándar son: un grupo de homomorphism es una función de $f:G\to H$ entre los grupos, de tal manera que $f(g_1g_2)=f(g_1)f(g_2)$.

Si por otra parte $f$ es inyectiva entonces el homomorphism es también llamado un monomorphism.

Si $f$ es un surjective homomorphism entonces es llamado un epimorphism.

Si $f$ es bijective, entonces es llamado un isomorfismo.

Cabe señalar que estos no son arbitrarias nociones y hay muy poco espacio para desviarse de la norma. La noción de isomorfismo, monomorphism, y epimorphism son categóricos nociones. Isomorfismo significa ser invertible, monomorphism significa ser de izquierda es invertible, y epimorphism significa ser de derecha es invertible. Es muy fácil, a continuación, para mostrar que, en los grupos, un grupo homomorphism es invertible iff es bijective, y es la de la izquierda es invertible si y es inyectiva. Es un poco más difícil de demostrar que está a la derecha invertible iff si surjective.

Answer 2

Y tal vez se puede mencionar que a partir de un álgebra universal perspectiva de un grupo tiene dos otras operaciones además de los binarios de uno, que es el único de la operación de la inversión y la nullary operación $e$ dando el elemento neutro. Un homomorphism debe ser definido como la preservación de las tres operaciones. Sin embargo, sabemos bien que si la operación binaria se conserva, por lo que son los otros dos. Un ejemplo conocido, donde un poco más de atención es necesaria cuando se trata con homomorphisms de anillos con identidad, donde tenemos que exigir explícitamente que la nullary operación de la identidad se conserva.